MAKALAH MATEMATIKA KELAS 12: INDUKSI MATEMATIKA

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar belakang

Banyak orang yang masih menganggap bahwa matematika itu kurang menyenangkan dan susah untuk di pelajari, namun jika kita berusaha dan memikirkan bahwa matematika itu menyenangkan, pasti kita bisa mempelajari matematika itu. Bukankah di dunia ini atau persisnya di dalam kehidupan kita ini semuanya menggunakan matematika ?

 Untuk menumbuhkan rasa menyenangkan ketika kita belajar matematika, yaitu  gunakan imajinasimu bahwa matematika itu menyenangkan, berikan rasa percaya diri di dalam kepalamu bahwa matematika itu gampang, dan kalau perlu ketika kita mengerjakan soal matematika kita harus berimajinasi seperti pemandu sorak yang tidak sabar menunggu hasil pertandingan yang berakhir dengan kemenangan.(bersoraknya dalam hati)

Nah ! untuk itu kami akan membahas tentang induksi matematika di mana Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktiandeduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Bukan hanya itu induksi matematika pun mempunyai prinsip tersendiri untuk memecahkan suatu permasalahan dan menyelesaikannya yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut:                           

                                                  

Induksi matematika ditemukan pertama kali oleh seorang metematikawan asal prancis yang bernama Blaise Pascal (1623-1662). Induksi matematika merupakan teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan dan merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli. Pengertian lain yaitu suatu cara standar dalam membuktikan bahwa sebuah pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya.

Induksi matematis adalah suatu teknik pembuktian penting dan dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan benar. Dalam bagian ini kita akan menggambarkan bagaimana induksi matematis dapat digunakan dan mengapa induksi matematis merupakan suatu teknik pembuktian valid. Dengan mencatat bahwa induksi matematis hanya dapat digunakan untuk membuktikan hasil yang diperoleh suatu cara lain. Ini bukan merupakan alat untuk menemukan formula atau teorema.

B.     Rumusan masalah

1.      Bagaimana pengertian dari induksi matematika ?

2.      Bagaimana Prinsip Induksi Matematika ?

3.      Bagaimana Hubungan Prinsip Induksi Matematika ?

4.      Bagaimana Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika?

C.    Tujuan

1.      Mengetahui induksi Matematika.

2.      Mengetahui Prinsip Induksi Matematika.

3.      Mengetahui Hubungan Prinsip Induksi Matematika

4.      Mengetahui Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika.

BAB II

PEMBAHASAN

INDUKSI  MATEMATIKA

A.          Definisi:

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli. Meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).

Untuk membuktikan apakah pernyataan ini bernilai benar atau tidak untuk semua bilangan asli, ada dua langkah yang dilakukan, yaitu:

1. Jika benar, dan
2. Jika benar yang mengakibatkan juga benar,

Maka  bernilai benar untuk setiap bilangan asli n.

Misalkan akan dibuktikan suatu pernyataan bahwa jumlah n bilangan asli pertama, yaitu 1+2+:::+n, adalah sama dengan .Untuk membuktikan bahwa pernyataan itu berlaku untuk setiap bilangan asli, langkah- langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1.      Cara Biasa / Basis

Menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = 1. Jelas sekali bahwa jumlah 1 bilangan asli pertama adalah = 1. Jadi pernyataan tersebut adalah benar untuk       n = 1. Untuk n =1, Ruas kiri = 1 Sedangkan Ruas kanan =  1 Kerena ruas kiri = ruas kanan, maka persamaan benar untuk n=1.

2.      Menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n = k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n = k+1.

Dengan induksi matematika dapat disimpulkan bahwa pernyataan tersebut berlaku untuk setiap bilangan asli n

B.     Prinsip Induksi Matematika

Defenisi lain dari Induksi matematika (mathematical induction) adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli. Akan tetapi sebelum membahas mengenai induksi matematika, kita akan membahas suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut. 

  Setelah mengingat mengenai himpunan bilangan asli, sekarang perhatikan prinsip terurut rapi dari bilangan asli berikut.

1.      Prinsip Terurut Rapi Bilangan Asli

Setiap himpunan bagian yang tidak kosong dari N memiliki anggota terkecil. Secara lebih formal, prinsip tersebut menyatakan bahwa untuk setiap himpunan tidak kosong V  yang merupakan himpunan bagian dari N, maka ada v₀ anggota V sedemikian sehingga v₀ ≤ v untuk setiap vanggota V.

Berdasarkan prinsip terurut rapi di atas, kita akan menurunkan prinsip induksi matematika yang dinyatakan dalam bentuk himpunan bagian N. Adapun Prinsip Induksi Matematika: Misalkan S adalah himpunan bagian N yang memiliki 2 sifat:

1.      S memiliki anggota bilangan 1; dan

2.      Untuk setiap k anggota N, jika k anggota S, maka k + 1 anggota S.
Maka diperoleh S = N.

Sebelum membuktikan prinsip induksi matematika di atas secara formal, kita akan mencoba memahaminya dengan menggunakan efek domino seperti berikut.

 Pada gambar :

1.      Gambar (a) di atas kita melihat sebaris 4 domino pertama yang ditata rapi dengan jarak antara masing-masing domino yang berdekatan kurang dari tinggi domino.

2.      Sehingga, jika kita mendorong domino nomor k ke kanan, maka domino tersebut akan merebahkan domino nomor (k + 1). Proses ini ditunjukkan oleh gambar (b). Kita tentu akan berpikir bahwa apabila proses ini berlanjut, maka domino nomor (k + 1) tersebut juga akan merebahkan domino di sebelah kanannya, yaitu domino nomor (k + 2), dan seterusnya.

3.      Bagian gambar (c) menggambarkan bahwa dorongan terhadap domino pertama merupakan analogi dari bilangan 1 menjadi anggota himpunan S. Hal ini merupakan langkah dasar dari proses efek domino. Selanjutnya, jika k anggota S akan menyebabkan (k + 1) anggota S, akan memberikan langkah induktif dan melanjutkan proses perebahan domino. Sehingga, pada akhirnya kita akan melihat bahwa semua domino akan rebah. Atau dengan kata lain, domino yang memiliki nomor urut semua bilangan asli akan rebah. Hal ini merupakan analogi dari S = N.

Bagaimana dengan bukti formal dari prinsip induksi matematika?

Bukti Andaikan S ≠ N. Maka himpunan N – S bukan merupakan himpunan kosong, sehingga berdasarkan prinsip terurut rapi, himpunan tersebut memiliki anggota terkecil m. Karena 1 anggota S (berdasarkan hipotesis 1), maka m > 1. Tetapi hal ini akan mengakibatkan bahwa m – 1 juga merupakan bilangan asli. Karena m – 1 < m dan m adalah anggota terkecil dari N – S, maka m – 1 anggota S.

Sekarang kita akan menggunakan hipotesis 2 bahwa k = m – 1 merupakan anggota S,  maka k + 1 = (m – 1) + 1 = m juga anggota S. Akan tetapi pernyataan ini akan kontradiksi bahwa m bukan anggota S. Sehingga N – S adalah himpunan kosong atau dengan kata lain N = S.

Selain diformulasikan seperti di atas, Prinsip Induksi Matematika juga dapat dinyatakan sebagai berikut. Untuk setiap n anggota N, misalkan P(n) merupakan suatu pernyataan tentang n. Apabila:

1.      P(1) benar.

2.      Untuk setiap k anggota N, jika P(k) benar, maka P(k + 1) benar.

Maka P(n) benar untuk setiap n anggota N.

2.      Prinsip Induksi Matematika (versi kedua)                        Misalkan n₀ anggota N dan misalkan P(n) merupakan pernyataan untuk setiap bilangan asli n ≥ n₀. Apabila:
(1) Pernyataan P(n₀) benar;
(2) Untuk setiap k ≥ n₀, jika P(k) benar mengakibatkan P(k + 1) benar.
Maka P(n) benar untuk semua n ≥ n₀.

Berikut ini adalah contoh yang menunjukkan bagaimana Induksi Matematika dapat digunakan untuk membuktikan pernyataan tentang bilangan asli. Contohnya  Pengubinan dengan Tromino.

Diberikan suatu papan catur 2ⁿ × 2ⁿ (n > 0), dengan salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan, buktikan bahwa papan catur tersebut dapat ditutup sempurna dengan tromino. (Tromino adalah gambar yang terdiri dari 3 persegi yang sisinya saling bersinggungan, tetapi 3 persegi tersebut tidak dalam satu barisan yang berjajar). Bukti Pernyataan tersebut benar untuk n = 1 karena secara jelas papan catur 2¹ × 2¹ yang salah satu persegi bagian pojok dihilangkan memiliki bentuk yang sama dengan tromino. Andaikan pernyataan tersebut benar untuk k anggota N. Diberikan papan catur dengan ukuran 2^{k + 1} × 2^{k + 1} yang salah satu persegi di bagian pojok dihilangkan. Bagilah papan catur tersebut menjadi 4 papan catur 2^k × 2^k A, B, C, dan D, dengan satu di antaranya, yaitu A, memiliki bagian yang salah satu persegi di pojok hilang. Tempatkan 1 tromino, T, di tengah-tengah papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} sedemikian sehingga persegi-persegi tromino tersebut berada di bagian B, C, dan D. Kemudian gunakan kasus n = k untuk menutup bagian A, B – T, C – T, dan D – T dengan tromino. Proses tersebut akan menutup papan catur 2^{k + 1} × 2^{k + 1} tepat sempurna dengan tromino-tromino. (Gambar di bawah ini mengilustrasikan untuk kasus n = 3).

C.    Hubungan Prinsip Induksi Matematika

Hubungan prinsp induksi matematika tersebut dengan sebelumnya adalah dengan memisalkan S = {n anggota N | P(n) adalah benar}. Sehingga kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika di awal secara berturut-turut berkorespondensi dengan kondisi 1 dan 2 pada Prinsip Induksi Matematika terakhir. Selain itu, kesimpulan S = N juga berkorespondensi dengan kesimpulan P(n) benar untuk setiap nanggota N.

Asumsi bahwa “jika P(k) benar” dinamakan hipotesis induksi. Untuk membangun hipostesis 2, kita tidak perlu menghiraukan kebenaran dari P(k), tetapi yang perlu kita hiraukan adalah validitas dari “jika P(k), maka P(k + 1)”. Misalkan, jika kita akan menguji pernyataan P(n): “n = n + 5”, maka secara logis kondisi (2) adalah benar, dengan menambahkan 1 pada kedua sisi P(k) untuk mendapatkanP(k + 1). Akan tetapi, karena pernyataan P(1): “1 = 6” adalah salah, kita tidak dapat menggunakan Induksi Matematika untuk menyimpulkan bahwa n = n + 5 untuk setiap n anggota N.

D.    Contoh Soal Penggunaan Induksi Matematika

Adapun beberapa contoh dalam penggunaan induksi matematika berikut ini:

1.      Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa 5ⁿ− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ....

jawab:

Adapun langkah-langkahnya yaitu:

1)      Akan ditunjukkan bahwa 5ⁿ − 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Maka 5¹− 1 = 5− 1 = 4 habis dibagi 4.

2)      Asumsikan bahwa 5ⁿ− 1 habis dibagi 4 untuk n = k, juga untuk n = k + 1,

5ⁿ− 1 = (5)^k+1− 1 = [5.5^k]− 1

                                  =[(1 + 4).5^k]− 1

                                  = [5^k +4.5^k]−1

                                  = (5^k− 1) + 4.5^k

Karena n=k, maka jika k=1 akan berlaku,  n=k=1. Jadi,

 (5^k− 1) + 4.5^k = (5¹-1)+4.5¹

= (5-1)+4.5

= 4+20 = 24

Jadi, 24 dibagi 4 akan  bernilai 6

Berlaku pula n = k = 2. Jadi,

     (5^k− 1) + 4.5^k = (5²-1)+4.5²

     = (25-1)+4.25

     = 24+100 =124

Jadi, 124 dibagi 4 akan  bernilai 31

2.      Buktikan 1+3+5+...+(2n-1)= n²

Jawab:

1. Rumusnya benar untuk n=1 karena 1=1²

2. Asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk n=k ; yaitu kita misalkan bahwa 1+3+5 +...+(2k-1)=k².

maka rumus tersebut benar untuk n=k+1 (Catatan bahwa bilangan bulat positif ganjil ke-n adalah (2k – 1), karena bilangan bulat ini diperoleh dengan menambahkan 2 suatu total dari  k – 1 kali dengan 1.); yaitu bahwa 1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)²

     Dengan menambahkan (2k+1) pada kedua ruas, Sehingga mengasumsikan bahwa P(k) benar, ini mengikuti

1+3 + 5 +…+(2k – 1) + (2k + 1) = 1 + 3 +…+ (2k – 1) + (2k + 1)

 = k² + (2k + 1)

= k² + 2k + 1

= (k + 1)².

Ini menunjukkan bahwa P(n + 1) mengikuti dari P(n). Catatan bahwa kita menggunakan hipotesis induktif P(n) dalam kesamaan kedua dengan menempatkan kembali jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil pertama dengan n².

3.      Contoh soal pada  Jumlah n Bilangan Asli Pertama. Buktikan untuk setiap n anggota N, jumlah dari n bilangan asli pertama diberikan oleh rumus,

Bukti Kita akan mencoba membuktikan pernyataan di atas dengan Prinsip Induksi Matematika yang dibahas di awal. Misalkan S adalah himpunan yang memuat n anggota N sedemikian sehingga rumus di atas bernilai benar. Kita harus menguji apakah kondisi (1) dan (2) pada Prinsip Induksi Matematika terpenuhi. Jika n = 1, maka     

1 =  ∙ 1 ∙ (1 + 1) sehingga 1 anggota S, dan kondisi (1) terpenuhi. Selanjutnya, andaikan k anggota S maka kita akan menunjukkan k + 1 juga akan menjadi anggota S. Jika k angota S, maka:

Jika kita menambahkan k + 1 pada persamaan di atas, maka akan diperoleh

    

Karena persamaan di atas merupakan pernyataan untuk n = k + 1, maka kita menyimpulkan bahwa k + 1 anggota S. Sehingga, kondisi (2) terpenuhi. Sebagai hasilnya, menurut Prinsip Induksi Matematika kita memperoleh bahwa S = N, atau dengan kata lain persamaan tersebut berlaku untuk semua bilangan asli.

4.      Karena P(1) benar dan implikasi P(n)  =  P(n +1)  benar untuk semua bilangan bulat positif  n, prinsip induksi matematis menunjukkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n.

a.  Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n berlaku:

f(n) = (1 x 2) + (2 x 3) + (3 x 4) + + n (n +  1) =  n (n + 1)(n + 2). 

 Jawaban:

      Langkah 1:   f(n) => n (n +  1) =  n (n + 1)(n + 2).  Jika f(1), maka

=> 1 (1+1)     =  1 (1 + 1)(1 + 2)

=>1(2)           =    n (2)(3)

=> 2               = 2 

Maka pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = 1.

     Langkah 2:

      Misalkan pernyataan tersebut bernilai benar untuk n = k, yaitu:

f(k) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) =   .                            (persamaan 1)

    Maka akan kita buktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, yaitu:

f(k + 1) = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) =   (persamaan 2)

Dari persamaan 1 tadi, kita tambahkan (k + 1)(k + 2) pada kedua ruas, yaitu:

1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + + k (k + 1) + (k + 1)(k + 2) =                              +(k + 1)(k + 2)

Persamaan terakhir ini sama dengan persamaan 2 di atas. Dengan demikian, kita telah membuktikan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk setiap bilangan asli n, dengan menggunakan induksi matematika.

b.      Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n². Persamaan yang perlu dibuktikan: S(n)=1+3+5+⋯+2n−1=n²

                                      Jawab:

 Langkah pembuktian pertama:   untuk  n =1, benar bahwa  S(1)=1²=1

 Langkah pembuktian kedua:    andaikan benar untuk n=k, yaitu

S(k)=1+3+5+⋯+2k−1=k², maka akan dibuktikan benar pula untuk n=k+1, yaitu

S(k+1)=1+3+5+⋯+2k−1+2(k+1)−1=(k+1)²

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k²=1+3+5+...+2k−1  sesuai dengan pengandaian awal [1+3+5+⋯+2k−1]+2(k+1)−1=k²+2(k+1)−1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

 k²+2k+1=(k+1)², ingat bahwa (k+1)²=k²+2k+1

 (k+1)²=(k+1)² (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

Induksi matematika merupakan suatu metode pembuktian deduktif dalam matematika untuk menyatakan suatu pernyataan adalah benar untuk semua bilangan asli.

suatu prinsip yang digunakan untuk membuktikan induksi matematika, yaitu prinsip terurut rapi (well-ordering principle) dari bilangan asli. Seperti kita ketahui, himpunan bilangan asli adalah himpunan yang memiliki anggota 1, 2, 3, … yang dapat dituliskan sebagai berikut.

Induksi matematis digunakan untuk membuktikan hasil tentang kompleksitas algoritma, pembetulan tipe program komputer tertentu, teorema tentang graf dan pohon, dan juga suatu range luas dari identitas dan pertidaksamaan.

Induksi Matematika juga merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan tertentu berlaku untuk setiap bilangan asli. Selain itu Induksi Matematika juga digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu.

B.   Saran

Dalam makalah ini penulis memiliki harapan agar pembaca memberikan kritik dan saran  yang membangun. Karena penulis sadar dalam penulisan makalah ini terdapat begitu banyak kekurangan.

Selain itu, penulis juga menyarankan setelah membaca makalah ini  kita semua dapat mengatakan bahwa matematika itu asyik. Setelah kita belajar tentang induksi Matematika kita akan lebih tertantang lagi dan lebih bersemangat dalam belajar khususnya matematika. Namun seperti apa kata pepatah pasti tidak ada gading yang tak retak apalagi mengenai sesuatu yang diciptakan manusia pastilah tidak ada yang sempurna.

Demikian sedikit saran yang bisa saya sampaikan, semoga bisa diterima dengan lapang dada dan kepala dingin. Saling menghargai pendapat orang lain adalah ciri manusia yang beradab.

DAFTAR  PUSTAKA

Sukirman. 2006. Pengantar Teori Bilangan.Hanggar Kreator : Yogyakarta

http://Teori-Bilangan,com/belajar-matematika/(di posting pada tgl 26 November 2014)/

http://www.sekolahmatematika.com/jasa-pengerjaan-pr-matematika/(di posting pada tgl 26 November 2014)/

Bagikan Artikel ini