MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: BARISAN DAN DERET TAK HINGGA

 

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmatNYA sehingga papper tentang barisan dan deret aritmatika ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa penulis juga mengucapkan terimakasih atas bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan baik materi maupun pikirannya.

Dan harapan penulis semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, Untuk ke depannya dapat memperbaiki bentuk maupun menambah isi papper agar menjadi lebih baik lagi.

Karena keterbatasan pengetahuan maupun pengalaman penulis, penulis  yakin masih banyak kekurangan dalam makalah ini, Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan saran dan kritik yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Surakarta, 30 Maret 2016

Penulis

BAB II

PEMBAHASAN

A.      Pengertian Barisan dan Deret

1.      Barisan Bilangan

Perhatikan susunan bilangan berikut :

a.       1, 2, 3, 4, 5,…;                 dinamakan barisan bilangan asli

b.      2, 4, 6, 8, 10,…;               dinamakan barisan bilangan asli genap

c.       1, 3, 6, 10, 15,…;             dinamakan barisan bilangan segitiga

d.      1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…;       dinamakan barisan bilangan Fibonacci

Bilangan-bilangan yang membentuk suatu barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2, suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk,…, demikian seterusnya sampai suku ke-n dengan un (n bilangan asli).

Indeks n menyatakan banyaknya suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n dilambangkan dengan undisebut suku umum barisan. Pada umumnya, suku ke-n atau un merupakan fungsi dengan daerah asal (domain) bilangan asli n.

Barisan bilangan adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu bilangan dengan bilangan berikutnya. Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, …, dan bilangan ke-n adalah un, maka barisan bilangan itu dituliskan sebagai

 u1, u2, u3, ... , uk, ... , un

Contoh :

1)      Tentukan tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan sebagai un = 3n + 1

Jawab :

Suku ke-n, un = 3n + 1

Untuk n = 1, diperoleh u1 = 3(1) + 1 = 4

n = 2, diperoleh u2 = 3(2) + 1 = 7

n = 3, diperoleh u3 = 3(3) + 1 = 10

Jadi, tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7, dan u3 = 10.

1)      Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini, jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut.

a)      4, 6, 8, 10, . . .                                    b) 1, 9, 25, 49, . . .

Jawab :

a)      4, 6, 8, 10, . . .;        barisan dengan suku pertama u1 = 4 dan selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2.

Jadi, un = 2n + 2

b)      1, 9, 25, 49, . . .;      dapat ditulis sebagai (1)2, (3)2, (5)2, (7)2, ...; barisan dengan suku-sukunya merupakan kuadrat dari bilangan asli ganjil.

Jadi, un = (2n – 1)2.

2.      Deret

Perhatikan kembali barisan  Jika suku-suku tersebut dijumlahkan dalam bentuk u1, u2, u3, ... , uk, ... , un, maka penjumlahan barisan tersebut dinamakan deret. Jumlah suku-suku pada barisan hingga n suku pertama dinyatakan dengan Sn. Misalnya jumlah 5 suku pertama ditulis Sn = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 .

Contoh :

1)      Diketahui suatu deret 2 + 4 + 6 + …, hitunglah jumlah 5 suku pertama.

Jawab:

Sn = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30

Jadi, jumlah 5 suku pertama deret tersebut adalah 30.

B.      Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan aritmatika 1, 3, 5, 7,… dan 2, 4, 6, 8,….; setiap selisih anatara dua suku yang berurutat adalah tetap nilainya yaitu:

3-1 = 5-3 = 7-5 =…= 2

4-2 = 6-4 = 8-6 =…= 2

Secara umum u1, u2, u3, ... , un adalah barisan aritmatika apabila u2 – u1 = u3 – u2 = u4 – u3 =konstanta. Konstanta ini disebut beda dan dinyatakan dengan b.

Sehingga barisan aritmatika dapat kita definisikan sebagai berikut:

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Bentuk umum :

u1, u2, u3, ... , un  atau

a, ( a + b ), ( a + 2b ), ... , (a + (n – 1) b)

Pada barisan aritmatika, berlaku un – un-1 = b , sehingga un = un-1 + b.

a.         Rumus umum suku ke-n pada Barisan Aritmatika

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, maka suku barisan itu dapat divisualisasikan sebagai berikut :

I u1 = a

I u2 = a + b

I u3 = a + 2b

I u4 = a + 3b

I un = a + ( n -1 ) b

Berdasarkan pola atau keteraturan suku-suku barisan di atas, maka rumus suku ke-n untuk barisan aritmatika dapat ditentukan dengan hubungan berikut.

Misalkan suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, rumus umum suku ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :

I un = a + ( n -1 ) b

Contoh :

1)   Carilah suku pertama, beda, dan suku ke-6 dari barisan aritmatika 4, 1, -2, -5, . . .

Jawab :

Barisan 4, 1, -2, -5, …

Suku pertama     u1 = a = 4,

Beda                   b = 1 – 4 = -3,

Suku ke-6           u6 = a + 5b = 4 + 5(-3) = -11

Jadi, suku pertama a = 4, beda b = -3, dan suku ke-6 adalah u6 = 11 

b.         Suku tengah pada barisan aritmatika

Suku tengah suatu barisan aritmatika dapat ditentukan melalui deskripsi berikut ini.

Misalkan barisan aritmatika yang terdiri dari atas (2k-1) suku : u1, ... ,uk, ... , u2k-1, maka suku tengahnya adalah uk.

Suku tengah uk = a + (k-1) b = ½{2a+2(k-1)b} = ½{a+a+(2k-2)b} = ½ {u1 + u2k-1}. Jadi, suku tengahnya ditentukan oleh hubungan uk = ½ {u1+u2k-1}.

Contoh :

1)   Diketahui barisan aritmatika 3, 5, 7, 9, …, 95. Banyak suku pada barisan itu adalah ganjil.

a)    Carilah suku tengahnya

b)   Suku keberapakah suku tengahnya itu?

c)    Berapakah banyak suku barisan itu?

Jawab :

a)    Barisan 3, 5, 7, 9, …, 95. Suku pertama a = u1 = 3, beda b = 2, dan suku terakhir u2k-1= 95.

uk = ½ (u1+u2k-1) = ½ (3 + 95) = 49

Jadi, suku tengahnya adalah 49.

b)   Dari hasil a), diperoleh :

U uk = a + ( k-1) b = 49

⇔ 3 + (k-1)2 = 49

⇔ 2k = 48

⇔ k = 224

Jadi, suku tengahnya adalah suku ke-24.

c)    Banyaknya suku barisan itu sama dengan 2k – 1 = 2(24) – 1 = 47.

c.         Sisipan pada barisan aritmatika

Misalkan diantara dua bilangan real x dan  (dengan x ≠ y ) akan disisipkan sebanyak k buah bilangan ( k bilangan asli). Bilangan – bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan itu membentuk suatu barisan aritmatika. Susunan bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan dapat divisualisasikan dengan menggunakan bagan sebagaimana diperlihatkan berikut ini.

Di antara dua bilangan x dan y disisipkan sebanyak k buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Nilai beda barisan aritmatika yang terbentuk dapat ditentukan dengan menggunakan hubungan

 b =( y – x) / (k + 1)

Dengan x dan y bilangan real (x ≠ y ) dan k bilangan asli.

Contoh :

1)   Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan 5 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmatika. Carilah beda dari barisan aritmatika yang terbentuk.

Jawab :

Diketahui x = 4, y = 28, dan k = 5

Didapat b =( y – x) / (k + 1) =  (28-4)/(5+1)=4

Jadi, beda barisan aritmatika yang terbentuk adalah b =4 .

A.      Deret Aritmatika

Jumlah beruntun suku-suku suatu barisan aritmatika disebut sebagai deret aritmatika. Sebagai contoh :

·      Dari barisan aritmatika 1, 3, 5, 7, …, 99 dapat dibentuk deret aritmatika 1 + 3 + 5 + 7 + … + 99,

·      Dari barisan aritmatika 2, 4, 6, 8, …, 2n dapat dibentuk deret aritmatika 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n.

Dari contoh di atas dapat disimpulkan, jika u1, u2, u3, ... , un, merupakan suku – suku barisan aritmatika, maka u1 + u2 + u3 + ... + un dinamakan sebagai deret aritmatika.

a.         Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dilambangkan dengan Sn , dan Sn ditentukan oleh :

Sn = u1 + u2  +  u3 + ... + un-2 + un-1 + un

Substitusikan u1 = a, u2  = a+b,  u3 = a+2b ,  un-2 = un – 2b, un-1 =un – b; diperoleh

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... +  (un – 2b) + (un – b) + un …(*)

Jika urutan suku-suku penjumlahan pada persamaan (*) itu dibalik,  diperoleh:

Sn = un + (un – b) + (un – 2b) + ... + (a+2b) +  (a+b) + a … (**)

Jumlahkan masing masing ruas pada persamaan (*) dengan persamaan (**), sehingga diperoleh :

Berdasarkan hasil perhitungan tersebut, jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dapat ditentukan melalui hubungan sebagai berikut.

Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika u1 + u2 + u3 + ... + un  ditentukan dengan menggunakan hubungan :

Sn = n/2 (a+ un)

Dengan n = banyak suku, a = suku pertama, dan un  = suku ke-n.

a.         Sifat-sifat Sn pada deret aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

1.        Sn = n/2 (a+ un) merupakan fungsi kuadrat dari n (n bilangan asli) yang tidak memiliki suku tetapan.

2.        Untuk setiap n bilangan asli berlaku hubungan Sn - Sn-1 = un (Suku ke-n).

Contoh :

1)        Hitunglah jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60.

Jawab :

Untuk menghitung jumlah deret pada soal di atas, perlu ditentukan terlebih dulu banyak suku atau n melalui hubungan un = a + (n-1)b.

2 + 4 + 6 + … + 60, a = 2, b = 2, dan un = 60

60 = 2 + (n-1) 2

⇔ 60 = 2n

⇔ n = 30

S30 = 30/2 (a+ u30) = 15(2+60) = 930

Jadi, jumlah deret aritmatika 2 + 4 + 6 + … + 60 adalah S30 = 930

KUMPULAN SOAL

1.      Rumus umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan un= an2 + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan itu masing-masing sama dengan 8 dan 63.

a.       Hitunglah nilai a dan nilai b

b.      Tentukan suku ke-10

2.      Tulislah deret bilangan berikut ini, kemudian tulislah hasil penjumlahannya.

a.       Deret 6 bilangan asli kelipatan tiga yang pertama

b.      Deret 5 bilangan segitiga yang pertama

c.       Deret 6 bilangan persegi yang pertama

3.      Suku ke-3 suatu barisan aritmatika sama dengan 11, sedangkan suku ke-10 sama dengan 39.

a.       Carilah suku pertama dan beda barisan itu

b.      Carilah rumus suku ke-n

4.      Suku ke-5 suatu deret aritmatika adalah 40 dan suku ke-8 deret itu adalah 25.

a.       Tentukan suku pertama dan beda deret aritmatika itu

b.      Hitunglah jumlah sepuluh suku pertama dari deret aritmatika itu

5.      Diketahui suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 17 dan 37. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah…

KUNCI JAWABAN

1.        Nilai a dan b, serta suku ke-10 adalah

a.         Rumus umum suku ke-n : un= an2 + bn

·           Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh hubungan:

 a(2)2 + b(2) = 8

⇔ 4a + 2b = 8

⇔ 2a + b = 4                                                                          (*)

·           Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan:

A a(7)2 + b(7) = 63

⇔ 49a + 7b = 63

⇔ 7a + b = 9   .................................. (*)

Persamaan (*) dan (**) membentuk sistem persamaan linear dua variabel (dengan variabel a dan variabel b) sebagai berikut:

2a + b =4

7a + b =9

Solusi atau penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel diatas adalah a = 1 dan b = 2.

Jadi, nilai a = 1 dan b = 2.

b.         Berdasarkan hasil perhitungan a rumus umum suku ke-n dapat dinyatakan sebagai un= n2 + 2n.

Untuk n = 10 diperoleh u10 = (10)2 + 2(10) = 120

Jadi, suku ke-10 dari barisan itu adalah u10 = 120.

2.        Deret bilangan dan jumlahnya adalah

a.       3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18

Sn = 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 = 60

b.      1 + 3 + 6 + 10 + 15

Sn = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

c.       1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36

Sn = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 = 91

3.        Suku pertama dan beda, serta rumus suku ke-n adalah

a.        u3 = 11 → a + 2b = 11       ........................ (1)

u10 = 39 → a + 9b = 39 .... ........................ (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat 𝑎=3 dan 𝑏=4.

Jadi, suku pertama a = 3 dan beda b = 4.

b.       un = a + (n-1) b

    = 3 + (n-1) 4

    = 4n-1

Jadi, rumus suku ke-n adalah un = 4n-1.

4.        Suku pertama, beda serta jumlah ssepuluh suku pertama adalah

a.       Suku ke-5 sama dengan 40

u5 = 40 → a + 4b = 40            .....        (1)

Suku ke-8 sama dengan 25

u8 = 25 → a + 7b = 25            ......        (1)

Kedua persamaan di atas membentuk system persamaan linear dua variabel dan penyelesaiannya adalah a = 60 dan b = -5.

Jadi, suku pertama dan beda dari deret aritmatika itu berturut-turut adalah a = 60 dan b = -5

B.     Saran

Penulis menyarankan agar pembaca tidak hanya mengetahui barisan dan deret aritmatika pada papper ini, namun juga memperbanyak latihan mengerjakan soal dan dapat membedakan barisan dan deret aritmatika serta geometri.

DAFTAR PUSTAKA

Anwar, Cecep dan Pesta. 2008. “Matematika Aplikasi Untuk SMA dan MA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam”.Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sari, Ratna. 2014. “Barisan dan Deret Aritmatika” (Online), (http://ratnasari15.blogspot.co.id/2014/11/barisan-dan-deret-aritmatika.html, diakses tanggal 28 Maret 2016).

TIM Erlangga Fokus SMA. 2013.”Erlangga Fokus UN SMA/MA 2014 Ilmu Pengetahuan Alam”. Jakarta: Erlangga

Wirodikromo, Sartono. 2007. “Matematika Untuk SMA Kelas XII”. Jakarta : Erlangga.

Bagikan Artikel ini