BAB I . PENDAHULUAN

1.LATAR BELAKANG

Matematika tidak sulit dipelajari asal tahu cara mempelajarinya. Jadi, yang paling dominant yaitu cara belajar matematika yang tidak tepat. Banyak guru disekolah masih mengajar matematika dengan cara lama, yaitu guru aktif mengajar sementara siswa hanya memindah informasi yang ditulis gurunya ke buku catatannya. Selain itu siswa disuruh mengerjakan soal-soal latihan tanpa dibekali ketrampilan yang cukup. Pembelajaran matematika seperti itu jelas membosankan sehingga sehingga pantas kalau banyak siswa mengeluh tentang sulitnya belajar matematika. Padahal dengan mempelajari matematika siswa diharapkan mempunyai kemampuan berpikir logis, kritis, analitis, dan kreatif serta mampu bekerjasama.

Dalam menyelesaikan masalah siswa perlu mempelajari terlebih dahulu konsep-konsep dasar matematika. Siswa tidak hanya menerima dan mencatat apa yang disampaikan bapak dan ibu guru, ttapi siswa akan dibimbing untuk menentukan sendiri konsep-konsep tersebut melalui berbagai kegiatan. Dari mana asal usul konsep itu, bagaimana cara membuktikannya, dan bagaimana cara menggunakannya, semua harus dipelajari dalam matematika.

Lalu adanya tugas yang diberikan kepada kami untuk menyusun kelompok dan membuat sebuah diskusi kelompok yang bertema “SIFAT SIFAT FUNGSI KOMPOSISI”

2.RUMUSAN MASALAH

-Bagaimana cara menentukan jenis sifat sifat fungsi komposisi

-Bagaiman langkah-langkah pemecahan masalah sebuah soal

3.TUJUAN

-Mendiskripsikan apa saja tentang fungis komposisi

-Mendiskripsikan langkah-langkah menentukan sifat komposisi

-Mempelajari tentang apa apa saja meteri yang terdapat pada Fungsi Komposisi

BAB II . ISI

1.FUNGSI KOMPOSISI

Dari dua jenis fungsi f(x) dan g(x) kita dapat membentuk sebuah fungsi baru dengan menggunakan sistem operasi komposisi. operasi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" (komposisi/bundaran). fungsi baru yang dapat kita bentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

(g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g

(f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

2.PENGERTIAN FUNGSI

Suatu relasi dikatakan sebagai fungsi jika setiap unsur di daerah asai (domain = D) dipasangkan dengan tepat ke satu unsur di daerah kawan. Sebagai misal A dan B masing-masing merupakan himpunan. Reiasi fungsi (f) dari A ke B (f: A → B) dikatakan sebagai fungsi jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat ke satu anggota B.

3.ALJABAR FUNGSI

1. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian Dua Fungsi

Jika f dan g merupakan fungsi, berlaku sifat-sifat aijabar fungsi sebagai berikut.

Penjumlahan fungsi : (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Pengurangan fungsi: (f – g)(x) = f(x) – g(x)
Perkalian fungsi : (f . g)(x) = f(x) . g(x)
Pembagian fungsi : (^f/_g) (x) = ^f(x)/_g(x) . g(x) ≠ 0

2. Daerah Asal Fungsi

Diketahui f dan g merupakan fungsi dengan D_f = daerah asal f dan D_g = daerah asal g. Daerah asal operasi aljabar dua fungsi sebagai berikut.

Daerah asal fungsi (f + g)(x): D_{f + g} = Df ∩ Dg
Daerah asal fungsi (f – g)(x): D_{f -g} = Df ∩ Dg
Daerah asal fungsi (f . g)(x) : D_f.g = Df ∩ Dg
Daerah asal fungsi (^f/_g) (x) : D_f/g = Df ∩ Dg dengan g(x) 0

4.KOMPOSISI FUNGSI

1. Pengertian Komposisi Fungsi

Jika f dan g merupakan fungsi, komposisi fungsi f dan g (ditulis f ₒ g) dirumuskan sebagai berikut.

(f ₒ g)(x) = f(g(x))f ₒ g dibaca f bundaran g atau f komposisi g.

Artinya, mula-mula unsure x € D_g dipetakan oleh g ke g(x), kemudian g(x) dipetakan oleh f ke f(g(x)). Dengan cara yang sama diperoleh komposisi fungsi berikut.(g ₒ f)(x) = g(f(x))

(f ₒ g ₒ h)(x) = f(g(h(x)))

5.SIFAT–SIFAT FUNGSI

Fungsi Injektif (Fungsi Satu-Satu)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika anggota B dipasangkan dengan tepat ke satu anggota A, tetapi tidak semua anggota B harus mempunyai pasangan dengan anggota A. Dengan kata lain, fungsi f dari A ke B merupakan fungsi injektif jika a₁ , a₂ € D_f dengan a₁ ≠ a₂ maka f(a₁) ≠ f(a2). Df = daerah asal fungsi f.

Fungsi surjektif (Fungsi onto)
Fungsi f dari A ke B merupakan fungsi surjektif jika setiap anggota B mempunyai pasangan dengan anggota A.

Fungsi Bijektif (Fungsi Berkorespondensi Satu-Satu)
Suatu fungsi dikatakan bijektif jika fungsi tersebut merupakan fungsi injektif sekaligus surjektif.

6.ILUSTRASI

Pernahkah kalian memasak mie goreng instan?

Ada 2 tahap yang harus dilakukan sebelum mie siap disajikan. Pertama tahap perebusan, mie kering harus direbus terlebih dahulu lalu ditiriskan. Selanjutnya tahap pemberian bumbu, mie dicampur dengan bumbu yang telah disediakan sehingga mie goreng instan siap disajikan.

Andaikan tahap perebusan sebagai fungsi f dan tahap pemberian bumbu sebagai fungsi g. Mie kering sebagai masukan awal dimisalkan x, melalui fungsi f menghasilkan f(x) sebagai keluaran. Kemudian, f (x) akan diproses lagi melalui fungsi g sehingga menghasilkan g (f (x)) sebagai keluaran. Sampai tahap ini, kalian telah menyusun fungsi komposisi g dengan f atau dapat dinyatakan dengan (g o f ) (x) = g (f (x)).

Bagaimana jika kedua tahap tadi ditukar urutannya? Tahap pemberian bumbu yaitu fungsi g dilakukan terlebih dahulu. Tahap perebusan yaitu fungsi f dilakukan setelahnya. Maka, fungsi yang terbentuk adalah komposisi f dengan g, keluaran yang dihasilkan adalahf (g (x)) atau dapat ditulis (f o g ) (x) = f (g (x)).

Apakah dari tahapan yang berbeda akan dihasilkan mie dengan keadaan yang sama? Tentu mie yang dihasilkan akan berbeda keadaan dan kualitasnya. Begitu pula dengan fungsi komposisi. Ilustrasi tersebut merupakan ilustrasi dari salah satu sifat fungsi komposisi. Untuk mengetahui sifat-sifat lainnya, ayo pelajari materi ini dengan seksama.

7.DEFINISI FUNGSI KOMPOSISI

Misalkan fungsi f ditentukan dengan rumus f (x) dan fungsi g ditentukan dengan rumus g(x) masing-masing terdefinisi pada daerah asalnya, maka:

fungsi f dilanjutkan dengan fungsi g dinyatakan oleh (g o f )(x) = g (f (x)) terdefinisi jika
R_f ∩ D_g ≠ ∅.
fungsi g dilanjutkan dengan fungsi f dinyatakan oleh (f o g )(x) = f (g (x)) terdefinisi jika
R_g ∩ D_f ≠ ∅.

Dengan:

D_f merupakan daerah asal fungsi f

R_f merupakan daerah hasil fungsi f

D_g merupakan daerah asal fungsi g

R_g merupakan daerah hasil fungsi g

Berdasarkan definisi fungsi komposisi tersebut, akan kita selidiki sifat-sifat fungsi komposisi. Mari kita mulai.

Sifat 1

Mari kita selidiki apakah urutan tahapan fungsi berpegaruh pada pembentukan fungsi komposisi?

Misalkan fungsi f dinyatakan dengan f (x) =2x - 3 dan fungsi g dinyatakan dengan g (x) = x+ 2. Apakah (f o g) (x) dan (g o f) (x) akan menghasilkan keluaran yang sama?

Ambil sembarang x, misalkan x = 10.

(f o g ) (x) = f (g (x))

f(x) = 2x-3

= 2(x+2) – 3

= 2x+4-3

= 2x+1

(f o g ) (10) = 2x+1

= 2(10)+1

= 20+1

= 21

(g o f ) (x) = g (f (x))

g(x) = x+2

= (2x-3) + 2

g(x) = 2x-1

(g o f ) (10) = 2x-1

= 2(10) – 1

= 20-1

=19

Hasil akhir dari kedua fungsi komposisi diatasberbeda, sehingga:

(f o g) (x) ≠ (g o f) (x)

atau bisa disebut tidak bersifat komutatif

Sifat 2

Mari kita selidiki tentang pengaruh pengelompokan fungsi dengan fungsi komposisi yang dihasilkan.

Misalkan diketahui fungsi f (x ) = x + 3, fungsi g (x ) = 3x dan fungsi h (x) = 2x - 1. Apakah
((f o g ) o h ) (x ) dan (f o (g o h) (x ) akan menghasilkan keluaran yang sama?

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu (f o g)(x) dan (g o h)(x)

(f o g) (x) = f (g (x)) = f (3x) = 3x +3

Jadi, (f o g) (x) = 3x + 3

(g o h) (x) = g (h (x)) = g (2x - 1) = 3 (2x - 1) = 6x - 3

Jadi, (g o h) (x) = 6x - 3

Selanjutkan akan ditentukan ((f o g) o h) (x) dan (f o (g o h) (x)

((f o g) o h) (x ) = (f o g) (h (x )) = (f o g) (2x - 1) = 3 (2x - 1) + 3 = 6x

(f o (go h )) (x ) = f ((g o h ) (x )) = f (6x - 3) = (6x - 3) + 3 =6x

Hasil akhir dari kedua fungsi komposisi di atas sama, sehingga:

((f o g ) o h ) (x ) = (f o (g o h )) (x )

atau bisa disebut bersifat asosiatif.

Sifat 3

Sekarang bagaimana hubungan fungsi yang dikomposisikan dengan fungsi identitas I (x ) =x, mari kita lanjutkan penyelidikan.

Misalkan fungsi f (x ) = 5x + 7 dan fungsi identitas I (x ) = x, akan ditentukan (f o I ) (x ) dan
(I o f ) (x ).

(f o I ) (x ) = f (I (x )) = f (x ) = 5x + 7

(I o f ) (x ) = I (f (x )) = I (5x + 7) = 5x + 7

Hasil akhir (f o I ) (x ) dan (I o f ) (x ) sama, yaitu 5x + 7 yang tidak lain adalah f (x ), sehingga:

(f o I ) (x ) = (I o f ) (x ) = f (x )

atau bisa disebut bersifat identitas.

Berdasarkan penyelidikan sifat-sifat komposisitersebut, dapat kita tarik kesimpulan sebagai berikut:

Jika fungsi f dinyatakan dengan f (x ), fungsi g dinyatakan dengan g (x ) dan fungsi hdinyatakan dengan h (x ), maka:

Fungsi komposisi tidak bersifat komutatif : (f o g) (x) ≠ (g o f) (x)
Fungsi komposisi bersifat asosiatif : ((f o g ) o h ) (x ) = (f o (g o h )) (x )
Fungsi komposisi bersifat identitas : (f o I ) (x ) = (I o f ) (x ) = f (x )
dengan fungsi identitas I dinyatakan dengan I (x ) = x.

Beberapa sifat tersebut akan membantu kalian dalam menentukan suatu fungsi komposisi,

CONTOH SOAL

Contoh 1:

Diketahui f(x) = 3x - 4 dan g(x) = 2x, maka tentukanlah rumus (f o g)(x) dan (g o f)(x) ...

Penyelesaian :

(f o g)(x) = g dimasukkan ke f menggantikan x

(f o g)(x) = 3(2x)-4

(f o g)(x) = 6x - 4

(g o f)(x) = f dimasukkan ke g menggantikan x

(g o f)(x) = 2(3x-4)

(g o f)(x) = 6x-8

Contoh 2:

Diketahui fungsi f(x)=5x2−3f(x)=5x2−3 dan g(x)=2x+1g(x)=2x+1, tentukan nilai (f∘g)(−1)(f∘g)(−1) ?
Penyelesaian :

menentukan fungsi komposisinya
(f∘g)(x) = f(g(x))

= f(2x+1)

= 5(2x+1)² -3

= 5(4x² + 4x + 1) – 3

= 20x² + 20x + 2

(f o g) (x) = 20x² + 20x + 2

Sehingga nilai (f o g) (-1)

(f o g) (x) = 20x² + 20x + 2

(f o g) (-1) = 20(-1)² + 20(-1) + 2

= 20.1 – 20 + 2

= 2

Contoh 3

Misal fungsi komposisi (f o g) (x) = -4x + 4 dan f (x) = 2x + 2.

Tentukan fungsi g (x).

Penyelesaian :

(f o g) (x) = -4x + 4

f (g (x)) = -4x + 4

2 (g (x)) + 2 = -4x + 4

2 g (x) = -4x + 2

g (x) = -4x + 2

g (x) = -2x + 1

Jadi fungsi g (x) = -2x + 1

Contoh 4:

Jika diketahui, (f o g) (x) = 6x + 3 dan f(x) = 2x – 3. Tentukanlah g(x)!

penyelesaian

(f o g)(x) = 6x +3

f(g(x)) = 6x + 3

2f(x) – 3 = 6x +3

2g(x) = 6x + 6

g(x) = 3x +3

Jadi, g(x) = 3x +3

Contoh 5:

Jika diketahui, (f o g)(x) = 2x + 6 dan g(x) = x + 1. Tentukan f(x)!

Penyelesaian

(f o g)(x) = 2x + 6

f(g(x)) = 2x + 6

f(x + 1 ) = 2x + 2 + 4

f(x + 1) = 2(x + 1) + 4

sehingga,

f(x) = 2x + 4

jadi, f(x) = 2x + 4

BAB III . PENUTUP

1.SARAN

Menyadari bahwa penulis masih jauh dari kata sempurna, kedepannya penulis akan lebih fokus dan details dalam menjelaskan tentang makalah di atas dengan sumber – sumber yang lebih banyak yang tentunga dapat di pertanggung jawabkan.

Untuk saran bisa berisi kritik atau saran terhadap penulisan juga bisa untuk menanggapi terhadap kesimpulan dari bahasan makalah yang telah di jelaskan. Untuk bagian terakhir dari makalah adalah daftar pustaka. Pada kesempatan lain akan saya jelaskan tentang daftar pustaka makalah.

2.KESIMPULAN

Ada 3 sifat yang terdapat pada fungsi komposisi yaitu

Fungsi komposisi tidak bersifat komutatif : (f o g) (x) ≠ (g o f) (x)
Fungsi komposisi bersifat asosiatif : ((f o g ) o h ) (x ) = (f o (g o h )) (x )
Fungsi komposisi bersifat identitas : (f o I ) (x ) = (I o f ) (x ) = f (x )
dengan fungsi identitas I dinyatakan dengan I (x ) = x.

DAFTAR PUSTAKA

- http://bahasapedia.com/pengertian-dan-sifat-sifat-fungsi-komposisi/

- http://www.rumusmatematikadasar.com/2015/01/pembahasan-fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers.html

- http://www.konsep-matematika.com/2015/09/fungsi-komposisi.html

- https://sababjalal.wordpress.com/2011/11/03/contoh-makalah-penerapan-model-pembelajaran-cooperative-learning-teknik-jigsaw-dalam-mproses-pembelajaran-fungsi-komposisi-dan-fungsi-invers-pada-smp-kelas-xi-semester-i/

MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS