MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: STATISTIKA
Jumat, Januari 26, 2018
Tambah Komentar
DAFTAR ISI
STATISTIKA
1. PENGERTIAN
Statistika adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari bagaimana cara mengumpulkan dan menyusun data, mengolah dan menganalisa data, serta menyajikan data dalam bentuk kurva atau diagaram, menarik kesimpulan, dan mengambil keputusan yang didasarkan pada hasil pengolahan data.
Statistika dibagi menjadi 2 macam, yaitu:
a. Statistika deskriptif
Statistika deskriptif adalah statistika yang melakukan kegiatan dari mengumpulkan, menyusun, menganalisa, mengolah, serta menyajikan data dalam bentuk kurva.
b. Statistika inferensi
Statistika inferensi adalah penarikan kesimpulan dalam statistika. Hasil dari data yang sudah diolah dan dianalisa yang disebut statistik.
Dalam suatu penelitian, seluruh objek yang akan diteliti disebut populasi, sedangkan sebagian dari populasi yang benar-benar diamati disebut sampel atau contoh. Misalkan, kita akan meneliti apakah dampak dari curah hujan yang tinggi bagi petani padi desa Pandak. Karena di desa Pandak ada 10 Rt, maka akan diambil secara acak 5 petani untuk diteliti. Dalam hal ini, petani padi desa Pandak disebut populasi, sedangkan yang terpilih dari masing-masing Rt disebut sampel.
Datum adalah setiap informasi atau keterangan yang diperoleh dari suatu penelitian. Kumpulan dari datum disebut data. Menurut jenisnya, data dibedakan menjadi 2 macam, yaitu:
a. Data kualitatif
Data kualitatif adalah data yang menunjukkan sifat/keadaan objek atau berupa tidak berupa angka. Contoh: data tentang nilai sikap yang dinyatakan dengan “baik”, “cukup”, atau “kurang”.
b. Data kuantitatif
Data kuantitatif adalah data yang menunjukkan jumlah ukuran objek atau berupa angka. Contoh: data tentang tinggi badan, berat badan, nilai siswa.
Menurut cara memperolehnya, data kuantitatif dapat dibedakan menjadi 2 macam, yaitu:
a. Data ukuran (data kontinu)
Data ukuran adalah data yang diperoleh dengan cara mengukur. Contoh: data tentang luas petak sawah.
b. Data cacahan (data diskrit)
Data cacahan adalah data yang diperoleh dengan cara mencacah, membilang, atau menghitung banyak objek. Contoh: data tentang banyaknya penumpang kereta api x setiap harinya.
2. PENYAJIAN DATA
Data yang sudah dikumpulkan dapat disajikan dalam bentuk tunggal, data kelompok atau data yang dikelompokkan dengan tabel dan data yang disajikan dalam bentuk macam-macam diagram tergantung tujuan dibuatnya data tersebut.
2.1 Data Tunggal
Data tunggal adalah adata yang disusun sendiri menurut besarnya. Contoh: Data dari bilangan antara 1 sampai 40 yang berkelipatan 5 adalah: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35.
2.2 Data Kelompok
Data kelompok yang disajikan dalam bentuk tabel disebut tabel distribusi frekuensi. Contoh:
Nilai
|
Titik tengah ( )
|
Frekuensi ( )
|
21 – 30
|
25,5
|
10
|
31 – 40
|
35,5
|
9
|
41 – 50
|
45,5
|
2
|
51 – 60
|
55,5
|
7
|
61 – 70
|
65,5
|
19
|
71 – 80
|
75,5
|
19
|
81 – 90
|
85,5
|
19
|
91 – 100
|
95,5
|
15
|
· Kelas
Data yang terdiri atas 100 nilai amatan pada tabel di atas dikelompokkan menjadi delapan kelas, yaitu kelas pertama 21 – 30, kelas kedua 31 – 40, kelas ketiga 41 – 50, kelas keempat 51 – 60, kelas kelima 61 – 70, kelas keenam 71 – 80, kelas ketujuh 81 – 90, kelas kedelapan 91 – 100.
· Batas kelas
Batas kelas ditentukan sebagai nilai-nilai ujung yang terdapat pada sebuah kelas. Nilai ujung bawah suatu kelas disebut batas bawah kelas, dan nilai unjung atas suatu kelas disebut batas atas kelas. Misalnya kelas pertama 21 – 30, batas bawahnya 21 dan batas atasnya 30.
· Tepi kelas
Tepi kelas ada 2, yaitu tepi bawah kelas dan tepi atas kelas.
Tepi bawah = batas bawah – 0,5
Tepi atas = batas atas + 0,5
|
Misalnya kelas pertama 21 – 30, tepi bawahnya 20,5 dan tepi atasnya 30,5.
· Panjang kelas
Panjang kelas adalah selang antara tepi atas kelas dan tepi bawah kelas.
Panjang kelas = tepi atas – tepi bawah
|
Misalnya kelas pertama 21 – 30, panjang kelasnya adalah 10.
· Titik tengah kelas
Titik tengah kelas adalah suatu nilai yang dapat dianggap mewakili kelas itu.
Titik tengah = (batas bawah + batas atas)
|
2.3 Penyajian Data dalam Diagram
2.3.1 Diagram Batang
Penyajian data statistik dengan menggunakan gambar berbentuk balok atau batang disebut diagram batang. Batang-batang itu dapat dilukiskan secara tegak (diagram batang tegak) atau mendatar (diagram batang mendatar), tetapi antara satu dengan batang lainnya diberi jarak sehingga letak tiap batang tampak terpisah. Misalnya, tabel frekuensi ukuran sepatu kelas VII E SMPN 1 Sleman.
No.
|
Ukuran Sepatu
|
Frekuensi
|
1
|
33
|
2
|
2
|
34
|
4
|
3
|
35
|
3
|
4
|
36
|
2
|
5
|
37
|
6
|
6
|
38
|
4
|
7
|
39
|
3
|
Total
|
24
| |
Gambar diagram batang:
Diagram Batang Tegak Diagram Batang Mendatar
Diagram batang tersebut disebut diagram batang tunggal. Selain diagram batang tunggal, dikenal dua diagram batang yang lain, yaitu:
1) Diagram batang majemuk
2) Diagram batang bertingkat
2.3.2 Diagram Garis
Data yang disajikan dengan grafik yang berbentuk garis lurus disebut diagram garis atau grafik garis. Diagram garis biasanya digunakan untuk menyajikan data yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktu secara berurutan. Misalnya, tabel frekuensi ukuran sepatu kelas VII E SMPN 1 Sleman.
No.
|
Ukuran Sepatu
|
Frekuensi
|
1
|
33
|
2
|
2
|
34
|
4
|
3
|
35
|
3
|
4
|
36
|
2
|
5
|
37
|
6
|
6
|
38
|
4
|
7
|
39
|
3
|
Total
|
24
| |
Gambar diagram garis:
2.3.3 Diagram Lingkaran
Penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuk daerah lingkaran disebut diagram lingkaran. Diagram tersebut dapat dibuat dengan membagi lingkaran menurut data yang ada dan dengan menggunakan busur derajat dan membagi keliling lingkaran. Misalnya, data ukuran sepatu kelas VII E SMPN 1 Sleman.
Tabel Presentasi Ukuran Sepatu
No.
|
Ukuran Sepatu
|
Frekuensi (f)
|
Ukuran sudut pusat x 360o
|
1
|
33
|
3
|
x 360o = 45o
|
2
|
34
|
4
|
x 360o = 60o
|
3
|
35
|
4
|
x 360o = 60o
|
4
|
36
|
3
|
x 360o = 45o
|
5
|
37
|
6
|
x 360o = 90o
|
6
|
38
|
4
|
x 360o = 60o
|
Total
|
24
|
3600
| |
2.3.4 Diagram Batang Daun
Langkah-langkah yang diperlukan untuk membuat diagram batang daun adalah sebagai berikut:
a. Tuliskan bagian batang secara terurut.
b. Tuliskan bagian daun dari setiap ukuran pada batang yang bersesuaian.
c. Urutkan daun setelah kegiatan (b) selesai dilakukan.
Contoh:
Berikut ini adalah data suhu atmosfir tempat-tempat di bumi dalam derajat Celcius.
30 17 27 20 46 16 30 22 19 45
21 12 38 26 36 13 39 15 43 15
Buatlah diagram batang daun dari data tersebut!
Jawab:
Dengan langkah (a) dan (b) buat diagramnya. Kemudian dengan langkah (c) buat juga diagramnya.
Batang
|
Daun
|
1
2
3
4
|
2355679
01267
00689
356
|
Daun
|
Batang
|
1
2
3
4
|
7692355
70216
00869
653
|
2.3.5 Histogram dan Ogif
Histogram adalah penyajian daftar distribusi frekuensi yang terdiri dari segiempat-segiempat yang alasnya pada sumbu mendatar. Poligon frekuensi kumulatif adalah grafik yang menunjukkan frekuensi kumulatif. Jika poligon frekunsi kumulatif dimuluskan diperoleh kurva frekeunsi kumulatif yang disebut ogif. Untuk frekuensi kumulatuf kurang dari, grafiknya disebut ogif positif. Sedangkan untuk frekuensi kumulatif lebih dari, disebut ogif negatif.
3. UKURAN PEMUSATAN DATA
Ukuran pemusatan data adalah ukuran untuk memberikan gambaran wakil data dari sampel yang diambil yang selanjutnya akan mewakili populasinya. Secara umum yang termasuk ukuran pemusatan data adalah:
a. Mean (rata-rata hitung)
b. Median (kuartil tengah)
c. Modus
3.1 Mean
Mean (rataan) dari suatu data adalah perbandingan jumlah semua nilai datum dengan banyak datum.
3.1.1 Data Tunggal
Jika suatu data terdiri atas nilai-nilai , , , ... , , maka rataan dari dua data itu ditentukan dengan rumus berikut:
atau
Keterangan:
: rataan dari suatu data. : banyak data.
: nilai data yang ke-i
Contoh:
Hitunglah rataan dari data 4, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 10.
Jawab:
Jadi, mean untuk data tersebut adalah 7,5.
3.1.2 Data Kelompok
Mean data kelompok dapat ditentukan dengan rumus:
Keterangan :
: total banyaknya data ke-i = frekuensi data ke-i
: nilai data yang ke-i
Contoh:
Hasil pengukuran (dalam mm)
|
Titik tengah
|
Frekuensi
| |
3 – 5
|
4
|
3
|
12
|
6 – 8
|
7
|
5
|
35
|
9 – 11
|
10
|
12
|
120
|
12 – 14
|
13
|
9
|
127
|
15 – 17
|
16
|
7
|
112
|
18 – 20
|
19
|
4
|
76
|
= 40
|
= 482
|
Jawab:
= = = 12,05
Jadi, mean data tersebut adalah 12,05.
3.2 Median
Median adalah sebuah nilai datum yang berada di tengah-tengah, dengan catatan data telah diurutkan dari nilai terkecil sampai dengan nilai terbesar.
3.2.1 Data Tunggal
a) Jika ukuran data n ganjil, maka mediannya adalah nilai datum yang di tengah atau nilai datum yang ke .
Ditulis: Median
b) Jika ukuran data n genap, maka mediannya adalah rataan dari dua nilai datum yang tengah atau rataan dari nilai datum ke dan nilai datum ke .
Ditulis: Median
Contoh:
Tentukan median dari data berikut ini.
1) 4, 5, 7, 9, 10
Nilai data sudah terurut dengan ukuran data n = 5 (ganjil).
Median = = = 7.
2) 12, 11, 7, 8, 6, 13, 9, 10
Nilai data tersebut jika diurutkan menjadi 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13. Ukuran data n = 8 (genap).
Median = (
= ( )
= ( )
= 9,5
3.2.2 Data Kelompok
Median ( ) data kelompok dirumuskan:
Keterangan:
L = tepi bawah kelas median p = panjang kelas
= frekuensi kelas median n = banyak data
= frekuensi kumulatif sebelum kelas median.
Contoh:
Panjang (cm)
| ||
25 – 29
|
6
|
6
|
30 – 34
|
10
|
16
|
35 – 39
|
10
|
26
|
40 – 44
|
8
|
34
|
45 – 49
|
4
|
38
|
50 – 54
|
12
|
50
|
Jumlah
|
50
|
Jawab:
= data ke- (
= data ke-25,5
terletak di kelas interval 35-39.
= = 39
Jadi, median dari data tersebut adalah 39.
3.3 Modus
Modus adalah nilai datum yang sering muncul atau nilai datum yang mempunyai frekuensi terbesar.
3.3.1 Data Tunggal
Contoh:
a) Suatu data 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7 mempunyai modus 6.
Karena nilai datum 6 paling sering muncul, yaitu sebanyak 3 kali.
b) Suatu data 4, 5, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 10 mempunyai modus 7 dan 8.
Karena nilai datum 7 dan 8 bersamaan paling sering muncul, yaitu sebanyak 2 kali.
c) Suatu data 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 13 tidak mempunyai modus.
Karena data ini tidak mempunyai nilai datum yang paling sering muncul.
Dari contoh di atas tampak bahwa ada suatu data yang hanya mempunyai satu modus disebut unimodus, mempunyai dua modus disebut bimodus, dan ada pula yang mempunyai lebih dari dua modus disebut multimodus serta ada suatu data yang sama sekali tidak mempunyai modus.
3.3.2 Data Kelompok
Modus data kelompok dirumuskan:
Keterangan :
L = tepi bawah kelas modus.
= selisih frekuensi kelas modus dan kelas sebelumnya.
= selisih frekuensi kelas modus dan kelas sesudahnya.
p = panjang kelas
Contoh:
Di bawah ini tabel frekeunsi pengukuran tinggi badan siswa kelas XI IPA SMA Sumedang.
Tinggi Badan (cm)
|
Frekuensi
|
160 – 164
|
6
|
165 – 169
|
8
|
170 – 174
|
12
|
175 – 179
|
8
|
180 – 184
|
2
|
185 – 189
|
4
|
Jawab:
Modus data terletak pada kelas interval 170 – 174 karena frekuensi data pada data kelas tersebut paling banyak.
= 12 – 8 = 4
= 12 – 8 = 4
= 172
Jadi, modus data tersebut adalah 172.
4. UKURAN LETAK DATA
Ada tiga macam ukuran letak data berdasarkan nilai-nilai batas yaitu kuartil, desil, dan persentil.
4.1 Kuartil
Kuartil adalah nilai batas jika sekumpulan data yang telah diurutkan dari kecil ke besar dibagi menjadi empat bagian yang sama.
4.1.1 Data Tunggal
Ada 3 macam kuartil, yaitu:
1. Kuartil pertama ( ) mempartisi data menjadi bagian dan bagian (kuartil bawah).
2. Kuartil kedua ( ) mempartisi data menjadi bagian. Kuartil kedua disebut juga sebagai median.
3. Kuartil ketiga ( ) mempartisi data menjadi bagian dan bagian (kuartil atas).
Kuartil untuk data tunggal ditentukan dengan rumus:
Contoh:
Tentukan , , dari data berikut:
52, 91, 55, 100, 58, 99, 70, 54, 98, 64, 56!
Jawab:
Diketahui n = 11.
Data diurutkan menjadi: 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70, 91, 98, 99, 100.
· Letak di urutan data ke-
Jadi, nilai = 55.
· Letak di urutan data ke-
Jadi, nilai = 64.
· Letak di urutan data ke-
Jadi, nilai = 99.
4.1.2 Data Kelompok
Nilai , , dan dari data kelompok dengan rumus berikut ini:
1. Kuartil bawah ( )
2. Kuartil kedua ( )
3. Kuartil atas ( )
Keterangan:
: kuartil ke-
: tepi kelas bawah yang memuat
: panjang kelas
: jumlah frekuensi sebelum kuartil ke-
: frekuensi kuartil ke-
Contoh:
Tentukan nilai kuartil pertama, kuartil kedua, dan kuartil ketiga untuk data kelompok tentang hasil pengukuran (dalam mm) pada tabel di bawah ini:
Hasil Pengukuran
(dalam mm)
|
Titik Tengah
|
Frekuensi
|
119 – 127
128 – 136
137 – 145
146 – 154
155 – 163
164 – 172
173 – 181
|
123
132
141
150
159
168
177
|
3
6
10
9
7
3
2
|
Jawab:
a) .
Jadi, kuartil pertama adalah:
b) .
Jadi, kuartil kedua adalah:
c) .
Jadi, kuartil ketiga adalah:
4.2 Desil
Desil adalah nilai batas jika sekumpulan data yang telah diurutkan dari kecil ke besar dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama.
4.2.1 Data Tunggal
Desil untuk data tunggal ditentukan dengan rumus:
Contoh:
Tentukan dari data 2, 2, 3, 3, 3, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 13, 16, 16, 20!
Jawab:
Diketahui n = 20
Urutan data:
Dari data tersebut dapat dicari:
Letak di urutan data ke-
Jadi,
4.2.2 Data Kelompok
Desil untuk data kelompok ditentukan dengan rumus:
Keterangan:
: desil ke-i
: tepi bawah kelas yang memuat desil ke-i
: panjang kelas
: jumlah frekuensi sebelum desil ke-i
: frekuensi desil ke-i
Contoh:
Data tinggi badan dari 100 orang siswa disajikan dalam tabel distribusi frekuensi. Carilah nilai desil keempat!
Tinggi badan (dalam cm)
|
Frekuensi
|
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
|
6
19
40
27
8
|
Jawab:
Desil keempat
Substitusi :
4.3 Persentil
Persentil adalah nilai batas jika sekumpulan data yang telah diurutkan dari kecil ke besar dibagi menjadi seratus bagian yang sama.
4.3.1 Data Tunggal
Persentil untuk data tunggal ditentukan dengan rumus:
Contoh:
Dari data 52, 54, 55, 56, 58, 64, 70, 91, 98, 99, 100 tentukan !
Jawab:
Diketahui n = 11
Urutan data:
Letak di urutan data yang ke
Jadi,
4.3.2 Data Kelompok
Persentil untuk data kelompok ditentukan dengan rumus:
Keterangan:
: persentil ke-i
: tepi bawah kelas yang memuat persentil ke-i
: panjang kelas
: jumlah frekuensi sebelum persentil ke-i
: frekuensi persentil ke-i
Contoh:
Tentukan dari data di bawah ini!
Tinggi badan (dalam cm)
|
Frekuensi
|
150 – 154
155 – 159
160 – 164
165 – 169
170 – 174
|
5
20
42
26
7
|
Jawab:
Letak di urutan data ke-
Kelas pada interval 155 – 159 sehingga:
5. UKURAN PENYEBARAN DATA
Ukuran penyebaran data atau ukursan dispersi menunjukkan seberapa besar nilai-nilai dalam suatu kumpulan data memiliki nilai yang berbeda. Ukuran dispersi ada beberapa macam adalah rentang (jangkauan atau range), jangkauan antarkuartil, simpangan kuartil, ragam, dan simpangan baku.
5.1 Rentang (jangkauan atau range)
Rentang atau jangkauan (range) merupakan ukuran penyebaran yang paling sederhana dan mudah dipahami serta didefinisikan sebagai selisih nilai maksimum (data terbesar) dengan nilai minimum (data terkecil) yang dinyatakan sebagai berikut:
dengan = rentang (range), = data terbesar, = data terkecil.
5.2 Jangkauan antarkuartil
Jangkauan antarkuartil didefinisikan sebagai selisih antar kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Jangkauan antarkuartil disebut hamparan, ditentukan dengan rumus:
dengan = hamparan, = kuartil tiga, = kuartil pertama.
5.3 Simpangan Kuartil
Simpangan kuartil didefinisikan sebagai setengah kali panjang hamparan. Oleh karena itu, simpangan kuartil disebut juga rentang semi antarkuartil. Simpangan kuartil ditentukan dengan rumus:
5.4 Ragam dan Simpangan Baku
Simpangan baku adalah ukuran penyebaran yang paling baik karena mencerminkan besaran pneyebaran tiap-tiap observasi. Kuadrat dari simpangan baku disebut ragam atau variansi.
5.4.1 Data Tunggal
Misalkan adalah rataan dari data , maka
· Ragam atau variansi data ditentukan oleh:
· Simpangan baku atau deviasi standar data ditentukan oleh:
Dengan n = ukuran data, = nilai datum yang ke-i, dan = nilai rataan.
Contoh:
Tentukan ragam dan simpangan baku untuk data: 10, 44, 56, 62, 65, 72, 76!
Jawab:
Ukuran data n = 7
Jumlah kuadrat setiap simpangannya:
· Ragamnya:
· Simpangan Baku:
5.4.2 Data Kelompok
Ragam dari suatu data yang disajikan dengan menggunakan daftar distribusi frekuensi dapat ditentukan dengan rumus:
Sedangkan simpangan bakunya ditentukan oleh:
dengan:
n = = ukuran data
r = menyatakan banyak kelas
6. TAFSIRAN RINGKASAN DATA
6.1 Koefisien Keragaman (Koefisien Variasi)
Koefisien keragaman (koefisien variasi) adalah variasi dalam bentuk relatif yang menyatakan simpangan baku sebagai bentuk persentase rata-rata hitung.
= koefisien variasi
= simpangan baku
= Rata-rata
Semakin kecil datanya semakin seragam.
Contoh:
Sejenis lampu elektron rata-rata dapat dipakai selama 4500 jam dengan simpangan baku 1350 jam. Lampu model lain dapat dipakai rata-rata 12.000 jam dengan simpangan baku 2400 jam. Manakah lampu yang secara relatif masa pakainya lebih seragam?
Jawab:
Jadi, lampu jenis II secara relatif mempunyi masa pakai lebih seragam.
6.2 Nilai Standar (Nilai Baku)
Nilai standar (angka baku) merupakan data yang mempunyai rata-rata hitung = 0 dan simpangan baku = 1 sehingga kurvanya disebut kurva normal standar. Rumus nilai standar:
Contoh:
Seorang siswa kelas II IPA dalam ulangan umum mendapat nilai:
v Matematika 85 dengan rata-rata kelas 78 dan simpangan baku 10
v Fisika 92 dengan rata-rata kelas 84 dan simpangan baku 18
Bagaimana kedudukan siswa tersebut daalam pelajaran matematika apakah lebih baik dari fisika atau sebaliknya?
Jawab:
v Untuk Matematika
Maka nilai standar Matematika:
v Untuk Fisika,
v Maka nilai standar Fisika:
Siswa tersebut mendapat 0,7 simpangan di atas rata-rata Matematika dan 0,44 simpangan di atas rata-rata Fisika. Jadi, kedudukan siswa tersebut lebih baik dalam mata pelajaran Matematika.
6.3 Kemiringan
Kemiringan adalah derajat ketidaksimetrisan dari suatu distribusi.
v Jika kurva distribusi frekuensi mempunyai ekor yang lebih panjang ke kanan bila dilihat dari puncak maksimum (koefisien kemiringan > 0), maka distribusi seperti ini disebut miring ke kanan atau mempunyai kemiringan positif.
v Jika kurva distribusi frekuensi mempunyai ekor yang lebih panjang ke kiri bila dilihat dari puncak maksimum (koefisien kemiringan < 0), maka distribusi seperti ini disebut kemiringan ke kiri atau mempunyai kemiringan negatif.
v Jika kemiringan = 0 maka distribusi seperti ini disebut simetris.
Untuk melihat kemiringan, digunakan beberap rumus yang ditemukan oleh beberapa penemu, antara lain:
1. Koefisien kemiringan pearson pertama, yaitu
: koefisien kemiringan pearson 1
: mean
: modus
S : simpangan baku
2. Koefisien kemiringan pearson kedua, yaitu
: koefisien kemiringan pearson 1
: mean
: median
S : simpangan baku
3. Koefisien Kemiringan Persentil dan Kelly, yaitu:
: koefisien kemiringan Persentil
: persentil ke-90
: persentil ke-50
: persentil ke-10
Contoh:
Dari 100 orang yang dicatat berat badannya, dikelompokan dalam interval seperti pada tabel. Tentukan kemiringannya.
Kelas interval
|
xi
|
F
|
58-60
|
59
|
10
|
61-63
|
62
|
18
|
64-66
|
65
|
42
|
67-69
|
68
|
22
|
70-72
|
71
|
8
|
Σf = 100
| ||
Jawab:
Untuk menentukan kemiringannya, tabel tersebut di lengkapi menjadi tabel seperti di bawah ini:
Kelas interval
| ||||||
58-60
|
59
|
10
|
10
|
590
|
6
|
360
|
61-63
|
62
|
18
|
28
|
1116
|
3
|
162
|
64-66
|
65
|
42
|
70
|
2730
|
0
|
0
|
67-69
|
68
|
22
|
92
|
1496
|
3
|
198
|
70-72
|
71
|
8
|
100
|
568
|
6
|
288
|
Jumlah
|
100
|
6500
|
1008
|
Dari tabel dapat dicari:
Mean:
Median: Me = 63,5 + = 65,07
Modus: Mo = 63,5 + = 65,14
Simpangan baku: S = = 3,17
Dengan rumus kemiringan pearson yang kedua diperoleh
KPII = = = - 0,066
Atau dengan rumus kemiringan pearson yang pertama diperoleh.
KP1 = = = - 0,044
Berdasarkan perhitungan diatas, kemiringan negatif maka model grafiknya cenderung ke kiri.
6.4 Kurtosis
Ukuran kurtosis adalah ukuran untuk mengetahui tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva distribusi normal. Untuk menentukan ukuran kurtosis digunakan koefisien persentil.
K : koefisien persentil kurtosis
: kuartil bawah
: kuartil atas
Kurva normal mempunyai K = 0,263 disebut mekokurtis. Jika > 0,263 distribusinya lebih runcing dibandingkan distribusi normal disebut leptokurtis. Jika K < 0,263 distribusinya lebih tumpul dibandingkan dengan distribusi normal disebut platikurtis.
Contoh:
Dari data pada contoh di kemiringan, tentukan kurtosisnya?
Jawab:
Terlebih dahulu dibuat tabel distribusi ferekuensi kumulatif kurang dari sebagai berikut.
Kelas interval
|
fi
|
fk ≤
| |
58-60
61-63
64-66
67-69
70-72
|
10
18
42
22
8
|
60,5
63,5
66,5
69,5
72,5
|
10
28
70
92
100
|
Σ
|
100
|
v Letak KI di urutan data ke - , KI termuat pada interval 61– 62 yaitu kelas yang memuat fk = 25
Jadi, KI = 60,5 +
v Letak K3 di urutan data ke- K3 termuat pada interval 67 - 69, yaitu kelas yang memuat fk = 75
Jadi, K3 = 66,5 +
v Letak P10 di urutan data ke- P10 termuat pada interval 58 - 60, yaitu kelas yang memuat fk = 10
Jadi, P10 = 57,5 +
v Letak P90 di urutan data ke- P90 termuat pada interval 67 - 69, yaitu kelas yang memuat fk = 90
Jadi, P90 = 66,5 +
Maka dapat ditentukan ukuran kurtosis sebagai berikut.
K = = = = 0,24
Karena K = 0,24 < 0,263 maka data tersebut distribusinya lebih tumpul dibandingkan distribusi normal, sering disebut platikurtis.
LATIHAN SOAL
1. Tentukan nilai rataan hitung dari 6, 9, 8, 5, 12, 10, 2, 4, 7!
Jawab:
Nilai rataan dari data di atas adalah:
2. Dari 12 siswa peserta sepak bola tercatat rataan tinggi badannya 162 cm, jika ditambah 1 orang pemain cadangan rataan tinggi badan menjadi 162,1 cm. Berapa tinggi pemain cadangan itu?
Jawab:
Misalkan: tinggi pemain cadangan itu x.
Maka tinggi pemain cadangan itu dihitung dengan:
Jadi, tinggi pemain cadangan itu adalah 163,3 cm.
3. Tentukan mean dari data kelompok berikut:
Interval
|
f
|
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
|
2
3
8
23
20
21
3
|
Jawab:
Interval
|
F
| ||
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
|
2
3
8
23
20
21
3
|
32
37
42
47
52
57
62
|
64
111
336
1081
1040
1197
186
|
4. Tentukan median dari data berikut!
Berat Badan
| ||
56
59
62
65
68
71
|
2
5
13
14
4
2
|
2
7
20
34
38
40
|
Jawab:
Banyaknya data adalah 40, maka jika diurutkan naik median jatuh pada:
.
5. Tentukan median dari data kelompok di bawah ini!
Interval
|
F
|
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
|
2
3
8
23
20
21
3
|
Jawab:
Interval
|
f
|
fk
|
30 – 34
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
|
2
3
8
23
20
21
3
|
2
5
13
36
56
77
80
|
(frekuensi sebelum 40), kelas median adalah kelas kelima.
6. Tentukan modus dari data berikut !
4, 8, 7, 4, 6, 3, 6, 8, 6, 3
Jawab:
Data yang paling sering muncul adalah 6, maka Mo = 6
DAFTAR PUSTAKA
Wirdiatmi, dkk. Matematika 2 untuk SMA kelas 2 IPA, Bekasi: PT Galaxy Puspa Mega.
Wirodikromo, Sartono. 2007. Matematika SMA 2 IPA, Jakarta. Erlangga.
Subchan, W. d. (2015). Buku Guru Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Balitbang.
Th. Widyantini,Sumardyono, dkk. 2009. Kapita Selekta Pembelajaran Statistika Dan Peluang. Yogyakarta: PPPPTK
Abdur Rahman As’ari, Mohammad Tohir, dkk. 2014. Matematika. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Balitbang.
Belum ada Komentar untuk "MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: STATISTIKA "
Posting Komentar
Tinggalkan komentar terbaik Anda...