MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: ATURAN PENCACAHAN

BAB I

PENDAHULUAN

  A.    Latar Belakang

         Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Banyak persoalan kombinatorik yang sederhana telah diselesaiakan dalam masyarakat. Misalkan, saat pemilihan pemain untuk tim sepak bola yang terdiri dari 11 pemain. Apabila ada20 orang ingin membentuk suatu tim sepak bola, ada berapa kemungkinan komposisi pemain yang dapat terbentuk?

         Contoh lain adalah dalam menentukan sebuah password panjangnya 6 sampai 8 karakter. Karakter boleh berupa huruf atau angka. Berapa banyak kemungkinan password yang dapat dibuat? Tetapi selain itu para ilmuwan pada berbagai bidang juga kerap menemukan sejumlah persoalan yang harus diselesaikan. Pada makalah ini,  kita akan membahas tentang kombinatorik, kaidah pencacah dengan materi aturan penjumlahan dan aturan perkalian.

         Kombinatorika adalah studi tentang pengaturan objek-objek, yaitu pemasangan, pengelompokan, pengurutan, pemilihan, atau penempatan objek- objek dengan karakteristik tertentu. Topik ini mulai berkembang sejak abad ketujuh belas, yakni diawali dengan tulisan Gottfried Wilhelm Leibnizyang berjudul Dissertio de Arte Combinatorica. Selanjutnya, kombinatorika semakin berkembang pesat dengan beragam aplikasinya di berbagai bidang, seperti kimia, biologi, fisika, dan komunikasi.

         Pembahasan mengenai kombinatorika diawali dengan pengenalan dua kaidah pencacahan, yaitu kaidah penjumlahan dan kaidah perkalian. Kedua kaidah ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan masalah yang kompleks dengan cara memecah  atau   mengurai  masalah   tersebut   menjadi   beberapa   bagian yang lebih sederhana yang selanjutnya   dapat diselesaikan    dengan   kedua kaidah tersebut. Misalnya, kaidah pencacahan bermanfaat untuk menentukan apakah terdapat cukup nomor telepon atau  alamat  internet protokol untuk  memenuhi  permintaan pelanggan.

B.     Perumusan Masalah

         Dari latar belakang di atas penulis dapat merumuskan masalah sebagai berikut :

1. Apa hubungan kombinatorika dengan kaidah pencacah?
2. Bagaimana menghitung dengan memakai aturan penjumlahan?
3. Bagaimana menghitung dengan memakai aturan perkalian?

C.    Tujuan Penulisan

         Dari latar latar belakang dan perumusan masalah di atas penulis dapat menuliskan tujuan penulisan sebagai berikut :

1. Mengetahui tentang kombinatorika
2. Memahami tentang konsep dasar menghitung.
3. Memahami tentang aturan penjumlahan dan perkalian.
4. Tugas mata kuliah matematika diskrit.

D. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan makalah ini terdiri dari :

BAB I PENDAHULUAN

         Di dalam bab pendahuluan meliputi latar belakang, perumusan masalah, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II KAJIAN TEORI

        Di dalam bab kajian teori meliputi pengertian dari kaidah pencacahan, dasar-dasar menghitung dengan aturan penjumlahan, perkalian maupun penjumlahan tak langsung.

BAB III PENUTUP

         Di dalam bab penutup atau bab terakhir, penulis menuliskan kesimpulan akhir dari kajian teori dan menuliskan saran untuk para pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

         Di dalamnya terdapat referensi buku yang dipakai dalam penulisan makalah ini.

BAB II

KAJIAN TEORI

A.    Pengertian Kaidah Pencacahan

         Enumerasi atau pencacahan merupakan bahasan awal dari matematika diskret yang digunakan sebagai alat dasar untuk mempelajari materi-materi lainnya yang umumnya bersifat kombinatorik. Disamping itu ia juga mempunyai aplikasi di banyak area seperti:  teori peluang, statistika, teori graf, teori koding, kriptografidan analisis algoritme. Materi pembahasannya akan ditekankan pada:

• Aturan penjumlahan
• Aturan perkalian
• Permutasi dan Kombinasi
• Kombinasi dengan Pengulangan.

         Namun yang dibahas pada makalah ini tentang aturan penjumlahan dan aturan perkaliannya.

B.     Konsep Dasar Pencacahan

         Dalam kehidupan sehari-hari kita sering dihadapkan dengan masalah penghitungan. Misalnya ada berapa cara yang dapat dilakukan pada saat   memasukan   sebuah   kelereng   ke dalam sebuah kantung, begitu pula apabila memasukan beberapa kelereng ke dalam beberapa kantung, berapa cara memilih wakil dari bebarapa kelompok mahasiswa dan masih banyak lagi   kasus yang lain. Salah satu prinsip dasar yang mendasari perkembangan   probabilitas terutama yang terkait dengan masalah penghitungan adalah konsep dasar pencacahan. Ada dua perinsip dasar pada konsep dasar pencacahan yaitu aturan penjumlahan  dan aturan perkalian.

1.      Aturan Penjumlahan (Rule Of Sum)

            Kaidah penjumlahan menganut prinsip umum bahwa keseluruhan sama dengan jumlah dari bagian-bagiannya. Secara umum, kaidah penjumlahan dijelaskan sebagai berikut:

“Jika  pekerjaan  jenis  pertama  dapat  dilakukan dengan m cara, pekerjaan jenis kedua dapat dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis pekerjaan itu tidak dapat dilakukan secara simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut adalah m + n  cara”.

Secara umum dirumuskan sebagai berikut:

“Jika ada suatu prosedur terdiri dari m-buah pekerjaan, T1, T2, …, Tm, yang masing-masing dapat dilakukan dengan  cara, dan setiap pasang pekerjaan tersebut tidak dapat dilakukan secara bersamaan, maka akan ada cara untuk melakukan pekerjaan ini”.

Contoh:

1.Di dalam suatu laboratorium komputer ada 4 printer (merk) jenis laserjet dan 6 printer jenis deskjet.

Jawab: Jika seorang praktikan diperbolehkan menggunakan kedua jenis printer tersebut, maka ada 4 + 6 = 10 printer yang bisa dipilih untuk dipakai.

2. Aturan jumlah dapat diperluas untuk lebih dari dua tugas. Misalnya, seorang instruktur laboratorium komputer memiliki 4 jenis buku bahasa pemrograman: 5 buku (judul) tentang C++, 4  buku  tentang  FORTRAN, 3 buku tentang Java, dan 5  buku tentang Pascal.

Jawab: Jika seorang praktikan dianjurkan untuk meminjam satu buku bahasa pemrograman dari sang instruktur, maka ada 5 + 4 + 3 + 5 = 17  buku yang bisa dia pinjam.

2.      Aturan Perkalian (Rule Of Product)

          Secara umum dirumuskan sebagai berikut:

“Jika suatu prosedur dapat dipecah menjadi dua tahap, dan jika tahap pertama menghasilkan m keluaran yang mungkin dan masing-masing  keluaran dilanjutkan ke tahap kedua dengan n keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran yang mungkin”.

     Kaidah perkalian sebgaimana dikemukakan di atas dapat pula dipahami sebagai kaidah pengisian tempat yang tersedia yang diilustrasikan sebagai berikut. Berapa banyak password (kata kunci) dengan panjang 5 angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 4, dan 5 jika tidak boleh ada angka berulang?

     Beberapa contoh password itu adalah :

                 12345,

                 23415,

                 54231,

                 Dan seterusnya.

Perhatikan bahwa 22341, 1234, atau 522341 bukan contoh passworddimaksud. Mengapa?

Untuk dapat menentukan banyaknya cara dimaksud, dapat dilakukan secara sistematis sebgai berikut. Kita sediakan 5 tempat yang dapat ditempati 5 angka yang disediakan.

Tempat ke-	1	2	3	4	5
Banyak cara	5	4	3	2	1

• Tempat pertama dapat diisi dengan 5 cara, yakni angka 1, 2, 3, 4, 5
• Tempat kedua dapat diisi dengan 4 cara
• Demikian seterusnya, tempat kelima dapat diisi dengan 1 cara.
• Dengan demikian, total banyaknya cara adalah  cara.

      Ketika kita menghitung banyaknya cara menyusun password di atas, kita telah menggunakan kaidah pengisian tempat yang tersedia, yang secara umum dijelaskan sebagai berikut :

     Misalkan:

      :  banyaknya cara mengisi tempat pertama

      :  banyaknya cara mengisi tempat kedua setelah tempat pertama terisi

      :  banyaknya cara mengisi tempat ke-k setelah (k – 1) tempat

              sebelumnya terisi.

C.    Aturan Perkalian dan Aturan Penumlahan Dalam Operasi Himpunan

Aturan penjumlahan dan aturan perkalian dapat juga dinyatakan kedalam teori himpunan. Pada aturan penjumlahan, misalkan  adalah himpunan-himpunan yang tak beririsan (disjoint). Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari himpunan-himpunan ini adalah:

Pada aturan perkalian, misalkan  adalah himpunan-himpunan yang berhingga. Maka banyaknya cara untuk memilih satu anggota dari masing-masing himpunan dengan urutan  adalah kardinalitas dari perkalian Kartesian semua himpunan tersebut

Sebagai gambaran, perhatikan contoh berikut ini. Contoh: berapa banyak bit string dengan panjang 8 bit yang bias dimulai dengan “1” atau berakhir dengan “00”?

Pekerjaan – 1

Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang dimulai dengan 1.

                  Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1),

                  Dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau 1),

                  Dua cara untuk mengambil bit ketiga (0 atau 1),

                  . . . .

                  Dua cara untuk mengambil bit kedelapan (0 atau 1)

Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 1 dapat dilakukan dengan I.2⁷= 128 cara.

      Pekerjaan – 2

Bentuk suatu string dengan panjang 8 yang berakhir dengan 00.

                  Ada dua cara untuk mengambil bit pertama (0 atau 1),

Dua cara untuk mengambil bit kedua (0 atau 1),

. . . .

Dua cara untuk mengambil bit keenam (0 atau 1),

Satu cara untuk mengambil bit ketujuh (0), dan

Satu cara untuk mengambil bit kedelapan (0).

Maka berdasarkan aturan perkalian, pekerjaan 2 dapat dilakukan dengan 2⁶ = 64 cara.

Karena ada 128 buah cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, apakah ini berarti ada 192 buah bit string 8 bit berawalan dengan 1 dan berakhiran dengan 00? Pekerjaan 1 dan pekerjaan 2 dapat dilakukan pada waktu yang sama, dimana ketika kita melakukan pekerjaan 1 dan membuat string yang diawali dengan 1, beberapa dari string ini berakhiran 00. Karena kadangkala kita bias melakukan pekerjaan 1 dan 2 pada saat bersamaan, maka aturan penjumlahan tidak berlaku.

         Jika ingin menggunakan aturan penjumlahan dalam kasus ini, maka harus mengurangkan kasus-kasus dimana pekerjaan 1 dan 2 dilakukan secara bersamaan dari total kemungkinan. Ada berapa banyak kasus yang demikian, yaitu berapa banyak string yang berawalan dengan 1 dan berakhiran dengan 00?

Ada satu cara untuk mengambil bit pertama (1),

Ada dua cara untuk bit yang kedua (0 atau 1)

. . . .

Keenam (0 atau 1),

Ada satu cara untuk bit ketujuh (0),

Dan satu cara untuk bit kedelapan (0).

Berdasarkan aturan perkalian, maka ada 25 = 32 buah kasus, dimana pekerjaan 1 dan 2 dapat dikerjakan secara bersamaan.

Karena terdapat 128 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan 64 cara untuk melakukan pekerjaan 2, dan 32 diantaranya kedua pekerjaan tersebut dilakukan pada saat yang bersamaan, maka sebenarnya ada 128 + 64 – 32 = 160 cara untuk melakukan pekerjaan 1 dan pekerjaan 2 (tak bersamaan). Di dalam teori himpunan A1 dan A2 yang tidak beririsan. Maka kita punya:  yang disebut sebagai prinsip inklusi-eksklusi.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

         Pencacahan (counting) adalah bagian dari matematika kombinatorial. Persoalan kombinatorik bukan merupakan persoalan yang baru dalam kehidupan nyata. Materi pembahasannya akan ditekankan pada:

• Aturan penjumlahan

“Jika  tugas  jenis  pertama  dapat  dilakukan dengan m cara, tugas jenis kedua dapat dilakukan dengan n cara, dan kedua jenis tugas  itu tidak dapat dilakukan secara simultan, maka banyaknya cara untuk menyelesaikan tugas-tugas tersebut adalah m + n  cara”.

• Aturan perkalian

“Jika  suatu  prosedur   dapat   dipecah   menjadi duatahap, dan jika tahap pertama menghasilkan m  keluaran yang mungkin dan  masing-masing  keluaran  dilanjutkan  ke  tahap  kedua  dengan n  keluaran yang mungkin, maka prosedur tersebut akan menghasilkan m x n keluaran yang mungkin”.

• Permutasi dan Kombinasi
• Kombinasi dengan Pengulangan.

         Aturan  penjumlahan dan perkalian  merupakan  pengertian  dasar  untuk memahami bahasan-bahasan selanjutnya yang berkenaan dengan kombinatorika.

B.     Saran

         Kaidah pencacah adalah dasar penghitungan, jadi sangatlah penting untuk diketahui dan dipelajari. Kaidah pencacah ini dari aturan penjumlahan sampai kombinasi denan pengulangan, namun yang kami bahas disini hanya aturan penjumlahan dan perkalian maka dari itu kami berharap untuk mencari referensi buku atau makalah yang lain supaya pengetahuan tentang kaidah pencacah lebih baik.

DAFTAR PUSTAKA

Siang, Jong Jek. 2006. Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Komputer. Yogyakarta : Andi.

Budayasa, K. 1995. Matematika Diskret I. Surabaya: Universitiy Press IKIP.

Wibisono, Samuel. 2008. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu

http://jejakjari007.blogspot.com/2010/01/materi-matematika-diskrit.html

http://ard-cerdasnet.blogspot.com/2012/09/kaidah-pencacahan.html

Bagikan Artikel ini