MATERI MATEMATIKA KELAS 12: INTEGRAL

INTEGRAL

A.    PENGERTIAN INTEGRAL

Integral adalah kebalikan dari proses diferensiasi. Integral ditemukan menyusul ditemukannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah ʃ

Integral terbagi dua yaitu  integral tak tentu dan  integral tertentu. Bedanya adalah integral tertentu  memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tak tentu biasanya dipakai untuk mencari volume benda putar dan luas.

1.      Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah sebuah bilangan yang dimana unuk mencari besaran dan volume benda.

Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut.

y = x² + 2x + 5

y = x² + 2x – 2

Kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu: = 2x+2

Sekarang, tinjau balik. Misalkan diberikan

= 2x + 2. Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi

y = x² + 2x + 5,

y = x² + 2x – 2, bahkan

y = x² + 2x + 10,

y = x² + 2x – log 3, dan sebagainya.

Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan

= = 2x + 2, bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, –2, 10, log 3, dan seterusnya). Bilangan-bilangan ini dapat disimbolkan denganC. Karena nilai C itulah hasil integral ini disebut integral tak tentu.

1. Notasi Integral Tak Tentu

Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jikaF(x) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan f(x) turunan dari F(x) dan ckonstanta bilangan real maka integral

tak tentu dari f(x) dapat dituliskan dalam bentuk

 dx=F(x)+c

dibaca ”integral fungsi f(x) ke x sama dengan F(x) + c”.

Keterangan:

 dx = notasi integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan

f(x) = fungsi yang diintegralkan (integran)

c = konstanta

dx = diferensial (turunan) dari x

Misalkan terdapat sebuah fungsi, maka integral tak tentu ataupun antiturunan dari fungsi tersebut adalah:

Rumus:

Integral tak tentu untuk fungsi aljabar (dasar)

kenapa? Karena jika n = -1 maka penyebut di ruas kanan menjadi nol
Untuk n = -1 maka akan menjadi

Integral tak tentu untuk fungsi trigonometri (dasar)

Sifat-sifat integral tak tentu :

 

2.      Integral  tentu

Integral tertentu adalah sebuah bilangan yang besarnya ditentukan dengan mengambil limit penjumlahan Riemann, yang diasosiasikan dengan partisi interval tertutup yang norma partisinya mendekati nol, teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral tertentu sebuah fungsi kontinu dapat dihitung dengan mudah apabila kita dapat mencari antiturunan/antiderivatif fungsi tersebut.

Apabila

Keseluruhan himpunan antiturunan/antiderivatif sebuah fungsi ƒ adalahintegral tak tentu ataupun primitif dari ƒ terhadap x dan dituliskan secara matematis sebagai:

Ekspresi F(x) + C adalah antiderivatif umum ƒ dan C adalah konstanta sembarang.

PERHATIKAN BAHWA INTEGRAL TERTENTU BERBEDA DENGAN INTEGRAL TAK TENTU. INTEGRAL TERTENTU DALAM BENTUK   .

B.SEJARAH INTEGRAL

Hitung integral merupakan metode matematika dengan latar belakang sejarah penemuan dan pengembangan yang agak unik. Metode ini banyak di minati oleh para ilmuwan lain di luar bidang matematika. Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :

1. Archimedes (287-212 SM), seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani.

Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

2. Isaac Newton (1642-1727 M), seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris. Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3. Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M), seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton,Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambangdx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4. George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M), seorang matematikawan dari Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

·         Asal Usul Notasi Integral

Konon dalam sejarah matematika, pelajaran integral lebih dikenal dengan anti-differensial atau kalo disekolah kita lebih mengenal kata “turunan” dibanding kata “differensial”. jadi Integral itu adalah kebalikan dari turunan. Baik integral ataupun differensial, keduanya merupakan bagian dari ilmu Kalkulus dalam Matematika. Menurut sejarah, tokoh yang mengembangkan dan memperkenalkan konsep differensial dan anti-differensial (integral) dalam ilmu matematika adalahGottfried Wilhelm Leibniz, atau lebih dikenal dengan Leibniz saja.

Nah, lambang integral seperti cacing berdiri dahulunya dikenal dengan “Notasi Leibniz”, karena Leibniz lah yang memperkenalkan konsep integral dalam Matematika, lambang integral seperti ini : ∫, diambil dari huruf pertama nama si Leibniz, yaitu huruf “L”, namun pada zaman dahulu orang menuliskan huruf “L” dalam bentuk yang indah, seperti berikut  ∫.

C.KEGUNAAN INTEGRAL

Ekonomi

·       Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

·       Mencari fungsi biaya total.

·       Mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal.

·       Mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal.

·       Fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal.

·       Fungsi kapital dari fungsi investasi.

Teknologi

·      Penggunaan laju tetesan minyak dari tangki untuk menentukan jumlah kebocoran selama selang waktu tertentu

·      Penggunaan kecepatan pesawat ulang alik Endeavour untuk menentukan ketinggian maksimum yang dicapai pada waktu tertentu.

·      Memecahkan persoaalan yang berkaitan dengan volume, paanjang kurva, perkiraan populasi, keluaran kardiak, gaya pada bendungan, usaha, surplus konsumen.

Fisika

·       Analisis rangkaian listrik arus AC.

·       Analisis medan magnet pada kumparan.

·       Analisis gaya-gaya pada struktur pelengkung.

Matematika

·       Menentukan luas suatu bidang,

·       Menentukan volume benda putar,

·       Menentukan Panjang busur

SOAL DAN PEMBAHASAN

1.  ² 

Jawab : ² 

^= 2 – 8x + 16 

n =   xn+1 + C

^= 2+1 - ¹⁺¹ + 16 x + C

= ³ – 4x² + 16x + C

2. ³ +   

Jawab : ³ +   

                                ^= 3 + x   

^= 3+1 + x    

⁼  x⁴₊ x  + C

3. 
Jawab :
Misal y = x² + 8
maka
Sehingga
Maka

4.  

Jawab:

Misal U =   maka  = 

                                    du= -sin x 

Maka   

⁼     U²

= 

=  U ^-1 + C

=   + C

5.    Tentukan nilai dari integral berikut:

Penyelesaian:mbvc    

	=
	=	3(3)2-3(2)2
	=	27-12=15

Bagikan Artikel ini