MATERI MATEMATIKA KELAS 10: BARISAN DAN DERET

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku. Perubahan di antara sukusuku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau suatu kelipatan bilangan tertentu.


Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang tetap,


maka barisan ini disebut barisan aritmetika. Misal:


 


a. 2, 5, 8, 11, 14, ……………. ditambah 3 dari suku di depannya


b. 100, 95, 90, 85, 80, …….. dikurangi 5 dari suku di depannya


 


Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan tetap, maka disebut


barisan geometri. Misal:


 


a. 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ………. dikalikan 2 dari suku di depannya


b. 80, 40, 20, 10, 5, 2½, ………… dikalikan ½ dari suku di depannya





DERET



Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan. Misal:


 


Deret aritmetika (deret hitung) : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30


 


Deret geometri (deret ukur) : 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62




BARISAN DAN DERET ARITMETIKA



Barisan Aritmatika


U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika

U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta


Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un – Un-1


Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ……… , a+(n-1)b

U1, U2,   U3 …………., Un


 


Rumus Suku ke-n :


Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n


 


Misal: 2, 5, 8, 11, 14, ………an


a1 = 2 = a


a2 = 5 = 2 + 3 = a + b


a3 = 8 = 5 + 3 = (a + b) + b = a + 2b


a4 = 11 = 8 + 3 = (a + 2b) + b = a + 3b


an = a + (n-1) b


 


 


Jadi rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika adalah:


b a a ( n 1 ) n 1 = + – atau S a ( n 1)b n 1 = + – dimana:


Sn = an = Suku ke-n


a1 = suku pertama


b = beda antar suku


n = banyaknya suku



contoh soal


1. Suatu barisan aritmatika suku ke 3 nya adalah -1 dan suku ke-7 nya 19. tentukan : U70


Solusi :


 


 


Kurangi U3 dengan U7


20 = 4b


 


Dari b=5, masukkan ke persamaan U7


19 =a +30


a= -11


 


U70 = 334


Deret Aritmetika (Deret Hitung)


 


a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.


a = suku awal

b = beda

n = banyak suku

Un = a + (n – 1) b adalah suku ke-n


 


Jumlah n suku


Sn = 1/2 n(a+Un)

= 1/2 n[2a+(n-1)b]

= 1/2bn² + (a – 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)


Keterangan:


Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn“)

Barisan aritmatika akan naik jika b > 0

Barisan aritmatika akan turun jika b < 0

Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1 atau Un = Sn’ – 1/2 Sn“

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.


Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a – b , a , a + b

Contoh soal


1:Hitunglah jumlah bilangan antara 1 dan 400 yang habis dibagi 5 tetapi tidak habis dibagi 7


Jawab:

S=Jumlah bil. kelipatan 5 – Jumlah bil. kelipatan 35

_= (5+10+15+…+395) – (35+70+…+385)

_= –

_=

_= 15800 – 2130

_= 13490.


Contoh Soal 2: Seutas tali dipotong-potong menjadi 14 bagian yang panjangnya membentuk barisan aritmatika. Jika tali yang terpanjang 21 cm dan bagian terpendek 4 cm, tentukan panjang tali semula.


Jawab:

S = = 175 cm.

Contoh Soal 3:Di antara bilangan 3 dan 99 disisipkan 15 buah bilangan sehingga bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk suatu barisan aritmatika. Cari beda barisan tersebut dan carilah jumlah deret aritmatika tersebut.


Jawab:

Logikanya, jika disisipkan 15 buah bilangan, maka renggang dari 3 sampai 99 ada (15+1)interval.

99 = 3 + 16d, maka d = 6. Jadi, bedanya adalah 6.

S = = 17.51 = 867.


 


BARISAN DAN DERET GEOMETRI



Barisan Geometri



BARISAN GEOMETRI


U1, U2, U3, ……., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

U1/U2 = U3/U2 = …. = Un / Un-1 = konstanta


Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)


Rasio r = Un / Un-1


Suku ke-n barisan geometri


a, ar, ar² , …….arn-1

U1, U2, U3,……,Un


Suku ke n Un = arn-1


® fungsi eksponen (dalam n)


 


 


Misal: 3, 6, 12, 24, 48, ……………..


a1 = 3 = a


a2 = 6 = 3 x 2 = a x r = ar


a3 = 12 = 6 x 2 = ar x r = ar2


a4 = 24 = 12 x 2 = ar2 x r = ar3


an = arn-1


 


Jadi rumus suku ke-n dalam barisan geometri adalah:


n 1


n a =ar – dimana:


an = suku ke- n (Sn)


a = suku pertama


r = rasio antar suku berurutan


n = banyaknya suku





Deret Geometri (Deret Ukur)


 


DERET GEOMETRI

a + ar² + ……. + arn-1 disebut deret geometri

a = suku awal

r = rasio

n = banyak suku


 


Jumlah n suku


Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1

= a(1-rn)/1-r , jika r<1 ® Fungsi eksponen (dalam n)


Keterangan:


Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap

Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku

Un > Un-1

Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku

Un < Un-1


Bergantian naik turun, jika r < 0

Berlaku hubungan Un = Sn – Sn-1

Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

_______      __________

Ut = Ö U1xUn = Ö U2 X Un-1 dst.

Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar

 


 


DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA


Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari


U1 + U2 + U3 + …………………………

¥

å Un = a + ar + ar² …………………….

n=1


dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0


 


Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :


Jumlah tak berhingga S¥ = a/(1-r)



Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1


Catatan:


a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …….……….




Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil


a+ar2 +ar4+ …….                     Sganjil = a / (1-r²)


 


 


Jumlah suku-suku pada kedudukan genap


a + ar3 + ar5 + ……                  Sgenap = ar / 1 -r²


Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

Belum ada Komentar untuk "MATERI MATEMATIKA KELAS 10: BARISAN DAN DERET"

Posting Komentar

Tinggalkan komentar terbaik Anda...

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel