MATERI MATEMATIKA KELAS 10: SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas mengenai Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Dua Variabel.

 A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

Sistem persamaan linear dua variabel adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah:
ax + by = c
px + qy = d
dimana: x dan y disebut variabel
a, b, p dan q disebut koefisien
c dan r disebut konstanta.

Cara penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel:

1. Metode Eliminasi 
Contoh Soal:
Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan
a. 2x + 3y = 6 dan x – y = 3
b. x + y = -4 dan 3x + 2y = 5
Pembahasan:
a. Langkah I eliminasi variabel x, koefisien x harus sama, setelah itu lakukan penjumlahan atau pengurangan agar variabel x tereliminasi 
2x + 3y = 6  |x1|   2x + 3y = 6
  x – y    = 3  |x2|   2x  -  2y = 6 _
                          -----------------------
                                      5y = 0
                                        y = 0
Langkah II eliminasi variabel y, koefisien y harus sama, setelah itu lakukan
penjumlahan atau pengurangan agar variabel y tereliminasi
2x + 3y = 6  |x1|   2x + 3y = 6 
  x – y    = 3  |x3|   3x  -  3y = 9 +
                         -------------------------
                                      5x = 15
                                        x = 3
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

a. Langkah I eliminasi variabel x, koefisien x harus sama, setelah itu lakukan penjumlahan atau pengurangan agar variabel x tereliminasi
  x + y   = -4  |x3|   3x + 3y = -12
3x + 2y = 5   |x1|   3x + 2y =   5  _
                           --------------------------
                                         y = -17
Langkah II eliminasi variabel y, koefisien y harus sama, setelah itu lakukan
penjumlahan atau pengurangan agar variabel y tereliminasi
  x + y   = -4  |x2|   2x + 2y = -8
3x + 2y = 5   |x1|   3x + 2y =  5 _
                          -------------------------
                                        -x = -13
                                         x = 13
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(13,-17)}.

2. Metode Substitusi
Contoh soal:
Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
2x +3y = 6 dan x – y = 3
Pembahasan:
Mencari nilai y dengan cara sebagai berikut 
x - y = 3
     x = 3 + y  ~> akan disubstitusikan ke persamaan 2x + 3y = 6
2(3 + y) + 3y = 6
  6 + 2y + 3y = 6
                5y  = 0
                  y  = 0
selanjutnya mencari nilai x, dengan cara menyubstitusikan nilai y yang sudah diperoleh ke persamaan salah satu persamaan. disini saya ambil persamaan x - y = 3 sebagi contohnya, berikut caranya:
x - y = 3
x - 0 = 3
     x = 3 
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,0)}.

3. Metode Gabungan
dengan cara menggabungkan metode eliminasi dan substitusi.
Contoh soal:
Dengan metode Gabungan, tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 

3x + 2y = 5 dan 2x + 4y = 3
Pembahasan:
Langkah I menggunakan metode eliminasi
3x + 2y = 5  |x2|   6x + 4y = 10
2x + 4y = 2  |x1|   2x + 4y = 2   _
                         --------------------------
                                      4x = 8
                                        x = 2
Langkah II menggunakan metode substitusi
dengan menyubstitusikan nilai x yang sudah diperoleh ke persamaan salah satu persamaan. disini saya ambil persamaan 3x + 2y = 5 sebagai contohnya.
berikut caranya:
3x + 2y = 5
3(2) + 2y = 5
    6 + 2y = 5
           2y = 5 - 6
           2y = -1
             y = -1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(2,-1/2)}.

B. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel

Sistem pertidakasamaan linear dua variabel adalah sistem pertidaksamaan yang melibatkan dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan yang ada dalam sistem.

Untuk menentukkan daerah penyelesaiannya, dapat dilakukan melalui langkah-langkah berikut.

1. Ubahlah tanda ketidaksamaan dari pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan (=), sehingga diperoleh persamaan linear dua variabel
2. Lukis grafik/garis dari persamaan linear dua variabel tadi. Hal ini dapat dilakukan dengan menentukan titik potong sumbu x dan sumbu y dari persamaan atau menggunakan dua titik sembarang yang dilalui oleh garis. Garis akan membagi dua bidang kartesius
3. Lakukan uji titik yang tidak dilalui oleh garis (substitusi nilai x dan y titik ke pertidaksamaan). Jika menghasilkan pernyataan yang benar, artinya daerah tersebut merupakan penyelesaiannya, namun apabila menghasilkan pernyataan salah maka bagian lainnya lah yang merupakan penyelesaiaanya.

Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut
Contoh soal:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan dua variabel berikut!
x + y ≤ 9
6x + 11 y  ≤ 66
x ≥ 0
y ≥ 0
Pembahasan
x + y ≤ 9
x + y = 9

6x + 11 y ≤ 66
6x + 11 y = 66

x ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu y dengan daerah penyelesaian di kanan sumbu y
y ≥ 0, gambar garisnya berimpit dengan sumbu x dengan daerah penyelesaian di atas sumbu x
Grafik Penyelesaian

Uji titik (0, 0)
0 + 0 ≤ 9
0  ≤ 9 (benar)

Uji titik (0, 0)
6(0) + 11(0) ≤ 66
0  ≤ 66 (benar)

Untuk contoh soal lainnya akan saya buatkan Soal-Bahas. Dan saya mohon maaf untuk saat ini hanya ini yang dapat saya bahas.
Jika ada kesalahan dalam penulisan maupun bahasan harap lapor kesaya bisa melalu komentar dibawah atau bisa langsung menghubungi saya. Dan jikalau anda ingin bertanya silahkan bisa langsung komentar atau bisa langsung chat.

Sekian untuk pembahasan pada kali ini. Semoga dapat bermanfaat bagi kita semua dan mendapat berkah.

Bagikan Artikel ini