MAKALAH MATEMATIKA KELAS 11: INTEGRAL

BAB I

PENDAHULUAN

1.1         Latar Belakang

Kalkulus (Bahasa Latin: calculus, artinya "batu kecil", untuk menghitung) adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer.

Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika.

Karena kalkulus ini mempunyai dua cabang utama, tapi disini saya ingin membahas tentang kalkulus integralnya. Seperti yang kita ketahui bahwa kalkulus integral juga memiliki banyak aplikasi, baik dalam kehidupan sehari-hari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.

Namun disini saya tertarik untuk membahas tentang integral dalam bidang sosial ekonomi pertanian.

1.2         Rumusan Masalah

1. Bagaimana sejarah integral?

2. Apa pengertian integral?

3. Macam-macam integral?

4. Bagaimana kaidah-kaidah dalam operasi integral?

5. Contoh penerapan integral di Bidang Sosial Ekonomi Pertanian

1.3         Tujuan

1. Mengetahui sejarah penemuan integral

2. Mengetahui makna dari integral serta cara penyelesaian soal-soal integral

3. Mengetahui macam-macam integral beserta pengertiannya dan cara penyelesaian soalnya

4. Mengetahui contoh-contoh penerapan Integral dalam kehidupan sehari-hari terutama di bidang Sosial ekonomi pertanian

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Sejarah Integral

Sebelum membahas tentang integral maka kita harus mengenal sejarahperkembangannya terlebih dahulu. Mengenai sejarah integral tak akan pernah kita lepas dari kalkulus, maka perlu kita membahas tentang sejarah perkembangan kalkulus.

Sejarah perkembangan kalkulus bisa ditilik pada beberapa periode zaman, yaitu zaman kuno, zaman pertengahan, dan zaman modern. Pada periode zaman kuno, beberapa pemikiran tentang kalkulus integral telah muncul, tetapi tidak dikembangkan dengan baik dan sistematis. Perhitungan volume dan luas yang merupakan fungsi utama dari kalkulus integral bisa ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa Mesir (c. 1800 SM) di mana orang Mesir menghitung volume piramida terpancung. Archimedes mengembangkan pemikiran ini lebih jauh dan menciptakan heuristik yang menyerupai kalkulus integral.

Pada zaman pertengahan, matematikawan India, Aryabhata, menggunakan konsep kecil takterhingga pada tahun 499 dan mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan diferensial dasar. Persamaan ini kemudian mengantar Bhāskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil takterhingga dan menjelaskan bentuk awal dari "Teorema Rolle". Sekitar tahun 1000, matematikawan Irak Ibn al-Haytham (Alhazen) menjadi orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil jumlah pangkat empat, dan dengan menggunakan induksimatematika, dia mengembangkan suatu metode untuk menurunkan rumus umum dari hasil pangkat integral yang sangat penting terhadap perkembangan kalkulus integral. Pada abad ke-12, seorang Persia Sharaf al-Din al-Tusi menemukan turunan dari fungsi kubik, sebuah hasil yang penting dalam kalkulus diferensial. Pada abad ke-14, Madhava, bersama dengan matematikawan-astronom dari mazhab astronomi dan matematika Kerala, menjelaskan kasus khusus dari deret Taylor, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Pada zaman modern, penemuan independen terjadi pada awal abad ke-17 di Jepang oleh matematikawan seperti Seki Kowa. Di Eropa, beberapa matematikawan seperti John Wallis dan Isaac Barrow memberikan terobosan dalam kalkulus. James Gregory membuktikan sebuah kasus khusus dari teorema dasar kalkulus pada tahun 1668.

Gottfried Wilhelm Leibniz pada awalnya dituduh menjiplak dari hasil kerja Sir Isaac Newton yang tidak dipublikasikan, namun sekarang dianggap sebagai kontributor kalkulus yang hasil kerjanya dilakukan secara terpisah.

Leibniz dan Newton mendorong pemikiran-pemikiran ini bersama sebagai sebuah kesatuan dan kedua orang ilmuwan tersebut dianggap sebagai penemu kalkulus secara terpisah dalam waktu yang hampir bersamaan. Newton mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fisika sementara Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan sekarang.

Ketika Newton dan Leibniz mempublikasikan hasil mereka untuk pertama kali, timbul kontroversi di antara matematikawan tentang mana yang lebih pantas untuk menerima penghargaan terhadap kerja mereka. Newton menurunkan hasil kerjanya terlebih dahulu, tetapi Leibniz yang pertama kali mempublikasikannya. Newton menuduh Leibniz mencuri pemikirannya dari catatan-catatan yang tidak dipublikasikan, yang sering dipinjamkan Newton kepada beberapa anggota dari Royal Society.

Pemeriksaan secara terperinci menunjukkan bahwa keduanya bekerja secara terpisah, dengan Leibniz memulai dari integral dan Newton dari turunan. Sekarang, baik Newton dan Leibniz diberikan penghargaan dalam mengembangkan kalkulus secara terpisah. Adalah Leibniz yang memberikan nama kepada ilmu cabang matematika ini sebagai kalkulus, sedangkan Newton menamakannya "The science of fluxions".

Walau beberapa konsep kalkulus telah dikembangkan terlebih dahulu di Mesir, Yunani, Tiongkok, India, Iraq, Persia, dan Jepang, penggunaaan kalkulus modern dimulai di Eropa pada abad ke-17 sewaktu Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz mengembangkan prinsip dasar kalkulus. Hasil kerja mereka kemudian memberikan pengaruh yang kuat terhadap perkembangan fisika.

Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekana. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier.

Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

Beberapa ilmuwan yang telah memberikan sumbangan terhadap penemuan

dan pengembangan metode matematika hitung integral ini, di antaranya adalah :

1.    Archimedes (287-212 SM)

Archimedes seorang fisikawan sekaligus matematikawan dari Syracuse, Yunani. Pada abad kedua sebelum masehi, Archimedes talah menemukan ide penjumlahan untuk menentukan luas sebuah daerah tertutup dan volume dari benda putar. Diantaranya adalah rumus lingkaran, luas segmen parabola, volume bola, volume kerucut, serta volume benda putar yang lain. Ide penjumlahan ini merupakan salah satu konsep dasar dari Kalkulus Integral.

2.    Isaac Newton (1642-1727 M)

Isaac Newton seorang matematikawan sekaligus fisikawan dari Inggris.

Isaac Newton dan Gottfried wilhelm Leibniz dalam kurun waktu yang hampir bersamaan, meskipun bekerja sendiri-sendiri, telah menemukan hubungan antara Kalkulus Differansial dan Kalkulus Integral. Walaupun konsep luas daerah yang dibatasi oleh kurva tertutup (integral tertentu) telah lebih dahulu diketahui, tetapi I Newton dan Leibniz merupakan dua tokoh terkemuka dalam sejarah Kalkulus. Sebab, mereka mampu mengungkapkan hubungan yang erat antara antiderivatif dengan intagral tertentu. Hubungan ini dikenal dengan Teorema Dasar Kalkulus.

3.    Gottfried wilhelm Leibniz (1646-1716 M)

Gottfried wilhelm Leibniz  seorang ilmuwan jenius dari Leipzig, Jerman. Leibniz seorang ilmuwan serba-bisa. Ia mendalami bidang hukum, agama, filsafat, sejarah, politik, geologi, dan matematika. Selain Teorema Dasar Kalkulus yang dikembangkan bersama Newton, Leibniz juga terkenal dengan pemakaian lambang matematika. Lambang dx/dy bagi turunan dan lambang ∫ bagi integral merupakan lambang-lambang yang diusulkan oleh Leibniz dalam Hitung Differensial dan Hitung Integral.

4.    George Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866 M)

George Friedrich Bernhard Riemann  seorang matematikawan dari

Gottingen, Jerman. Meskipun Teorema Dasar Kalkulus telah dikemukakan oleh Newton, namun Riemann memberi definisi mutakhir tentang integral tentu. Atas sumbangannya inilah integral tentu sering disebut sebagai Integral Riemann.

2.2 Materi Integral

            Dalam kalkulus integral dikenal dua macam pengertian integral yaitu integral tak tentu (indefinite integral) dan integral tertentu (definite integral). Integral tak tentu adalah kebalikan dari diferensial, yakni suatu konsep yang berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal apabila turunan atau derivativ dari fungsinya diketahui. Sedangkan integral tertentu merupakan suatu konsep yang berhubungan dengan proses pencarian luas suatu area yang batas-batas atau limit dari area tersebut sudah tertentu.

1.      Integral Tak Tentu

a.      Pengertian

Integral tak tentu dalam bahasa Inggris di kenal dengan nama Indefinite Integral atau kadang juga di sebut dengan Antiderivatif yang merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”.

Mengintegralkan suatu fungsi turunan f(x) berarti adalah mencari integral atau turunan-antinya, yaitu F(x).

Bentuk umum integral dari f(x) adalah:

∫ f(x) = F(x) +k

Di mana k adalah sembarang konstanta yang nilainya tidak tertentu. Dalam rumusan di atas, tanda  ∫ adalah tanda integral, f(x) dx adalah diferensial dari F(x).f(x) sendirian disebut integran, dx sendirian disebut diferensial, F(x) adalah integral partikular, k adalah konstanta pengintegralan, dan F(x) + k merupakan fungsi asli atau fungsi asal. Proses pengintegralan disebut juga integrasi.

Rumus umum integral

b.      Rumus Umum Integral

c.       Kaidah-Kaidah Integrasi Taktentu

1.      Kaidah Formula Berpangkat

2.      Kaidah Formula Logaritmis

3.      Kaidah Perkalian

4.      Kaidah Penjumlahan

2.      Integral Tentu

Integral tentu digunakan untuk mengintegralkan suatu fungsi f(x) tertentu yang memiliki batas atas dan batas bawah. Integral tentu mempunyai rumus umum: 

3. Integral Trigonometri

4.  Sifat-sifat Trigonometri

2.3  Penerapan Konsep Integral di Bidang Sosial Ekonomi Pertanian

a.       Mencari fungsi biaya

Biaya total : C = f(Q)

Biaya marginal : MC = C’= dc/dq = f’(Q)

Biaya total tak lain adalah integraldari biaya marjinal

C =  ∫ MC dQ =  ∫ f(Q) dQ

b.      Mencari fungsi penerimaan

Penerimaan total : R = f(Q)

Penerimaan marginal. : MR = R’ = dr/dQ = f(Q)

Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marginal

R =  ∫ MR dQ =  ∫f(Q) dQ

c.       Mencari Fungsi Utilitas

Utilitas  total : U = f(Q)

Utilitas marginal. : MU = U’ = dr/dQ = f(Q)

Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marginal

U =  ∫ MU dQ =  ∫f(Q) dQ

d.      Mencari fungsi produksi

Produk total : P = f(X) di mana,

P = keluaran, X = masukan

Produk marginal: MP = P’ = dP/dX = f(X)

Produk total tak lain adalah integral dari produk marginal

P =  ∫ MP dx =  ∫f(X) dX

e.       Mencari fungsi konsumsi dari fungsi tabungan

Dalam ekonomi makro, konsumsi(C) dan tabungan (S) dinyatakan fungsional terhadap pendapatan nasional (Y).

C = f (Y) = a+bY

MPC = C’ = dC/dY =f’(Y) = b

Karena Y = C + S, maka

IS = g(Y) = -a + (1 – b) Y

MPS = S’ = dS/dY = g’(Y) = (1 – b)

Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi dan tabungan masing-masing adalah integral dari marginal prepensity to consume dan marginal propensity to save.

C = ∫ MPC dY = F(Y) + k, k=a

S = ∫ MPS dY = G(Y) + k, k=-a

f.       Fungsi kapital dari fungsi investasi.

g.      Mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya).

h.      Rumus integral tentu untuk mencari surplus konsumen

Cs = ∫₀^Qe f (Q) d Q - Q_eP_e

i.        Rumus integral tentu untuk mencari surplus produsen

Ps = Q_eP_e - ∫₀^Qe f (Q) d Q

BAB 3

PENUTUP

3.1              Kesimpulan

Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa kalkulus mempunyai cabang utama yaitu kalkulus differensial, dan kalkulus integral. Sedangkan kalkulus integral terbagi atas dua macam lagi yaitu integral tertentu dan integral tak tentu. Integral mempunyai banyak aplikasi baik dalam kehidupan sehari, maupun dalam bidang sosial ekonomi pertanian.

Seperti yang dibahas dalam makalah ini ternyata integral memiliki aplikasi dalam bidang sosial ekonomi yaitu untuk mencari fungsi asal dari fungsi marginalnya (fungsi turunannya), mencari fungsi biaya total, mencari fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, mencari fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, mencari fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal dan mencari fungsi kapital dari fungsi investasi.

.

3.2              Saran

Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami materi integral ini terutama pengaplikasiannya di bidang sosial ekonomi. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.

DAFTAR PUSTAKA

Iis Jamilah. (2010). Latar Belakang Sejarah Integral, [Online]. Tersedia : https://tugaspti140110100033.wordpress.com/2010/12/08/latar-belakang-sejarah-integral/ [18 November 2015]

Martha Ayu. (2015). Sejarah Penemuan Integral, [Online]. Tersedia : http://sejarahmatematika1.blogspot.co.id/2015/04/sejarah-penemuan-integral.html [18 November 2015]

Riris Rohmah. (2014). Integral, [Online]. Tersedia : http://ceritabaru2012.blogspot.co.id/2014/06/makalah-integral.html[18 November 2015]

Yufiati Sari. (2013). Integral, [Online]. Tersedia : http://kel5-pmt2011.blogspot.co.id/2013/06/makalah-integral.html [18 November 2015]

Bagikan Artikel ini