MAKALAH MATEMATIKA KELAS 12: MATRIKS

Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

BAB: I

Pengertian Matris

Matriks adalah susunan kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Matriks dicirikan dengan elemen-elemen penyusun yang diapit oleh tanda kurung siku [ ] atau tanda kurung biasa ( ). Ukuran sebuah matriks dinyatakan dalam satuan ordo, yaitu banyaknya baris dan kolom dalam matriks tersebut. Ordo merupakan karakteristik suatu matriks yang menjadi patokan dalam operasi-operasi antar matriks. Memahami ordo matriks merupakan hal yang penting karena cukup banyak terjadi kesalahan dalam mengerjakan soal-soal matriks yang disebabkan oleh kekeliruan dalam memahami ordo matriks. Ketika seorang murid mengartikan ordo secara terbalik yaitu kolom dikali baris tentu hasilnya akan sangat berbeda. Matriks umumnya disimbolkan seperti berikut ini : Amxn Keterangan : A = nama matriks m = banyaknya baris n = banyaknya kolom m x n = ordo matriks

BAB: II

Jenis Dan Bentuk Matrik

Jenis-Jenis Matrik

1. Matriks Baris
Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris
Contoh : A =  ( 1   3   4   9)
2. Matriks Kolom
Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai  jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol
Matriks Nol adalah Suatu matriks   yang setiap unsurnya 0 berordo  ,ditulis dengan huruf  O.

5. Matriks Segi Tiga
Matriks Segi Tiga adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 .

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah  suatu matriks bujur sangkar yang  semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

7. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama.

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan 
Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf  I.

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris 
Matriks Simetri adalah  suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga  .

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.
10. Matriks Mendatar 
Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

11. Matriks Tegak 
Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

12. Matriks Transpos ( notasi At )
Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A.

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3
Sifat-sifat matriks transpos
      1) ( A + B )t = At + Bt
      2) ( At )t = A
      3) ( AB )t =  Bt At

Bentuk matrik

Bentuk-bentuk Matriks

1. Weak Matrik (matrik fungsional)
2. Balanced Matrik (matrik seimbang)
3. Strong Matrik

Weak matrik

1. Manajer fungsional beranggung jawab mengelola segmen proyek mereka.
2. Manajer proyek bertindak sebagai staf pembantu yg membuat daftar periksa (check list) dan jadwal, mengumpulkan informasi status pekerjaan, dan memfasilitasi penyelesaian proyek.
3. Manajer proyek memiliki otoritas tidak langsung untuk mempercepat dan memonitor proyek.
4. Manajer fungsional kebanyakan memutuskan siapa mengerjakan apa dan kapan pekerjaan diselesaian.

Balance matrik

1. Manajer proyek bertanggungjawab untuk menentukan apa saja yg perlu diselesaikan.
2. Manajer fungsional mengurusi bagaimana hal tersebut akan diselesaikan.
3. Manajer proyek menetapkan rencana menyelesaikan proyek, mengintegrasikan kontribusi dr berbagai disiplin yg berbeda, menetapkan jadwal, dan memonitor kemajuan.
4. Manajer fungsional bertanggungjawab untuk menugaskan personel dan melaksanakan segmen proyek mereka menurut jadwal dan standar yg ditentukan oleh proyek manajer.
5. Mengharuskan mereka untuk bekerja bersama dan bersama-sama menyetujui keputusan operasional dan teknis.

Strong matrik

1. Manajer proyek mengatur sebagian besar aspek proyek, termasuk imbal balik cakupan proyek dan penugasan personel fungsional.
2. Manajer proyek mengendalikan kapan dan apa yg dilakukan spesialis dan membuat keputusan akhir pada proyek utama.
3. Manajer fungsional punya kepentingan dengan orang-orangnya dan dikonsultasikan berdasarkan kebutuhan.
4. Dalam beberapa situasi, manajer departemen fungsional boleh bertindak sebagai “subkontraktor” bagi proyek, dalam hal mereka memiliki lebih banyak kendali atas pekerjaan khusus.

BAB: III

Jenis operasi pada matrik

Operasi pada matriks pada dasarnya sama dengan operasi-operasi matematika pada umumnya, operasi pada matriks antara lain:

1.Penjumlahan Matriks

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)

Contoh:

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda

2.Pengurangan Matriks

Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.

Contoh:

3.Perkalian Matriks dengan Skalar

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )

Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB

Contoh:

4.Perkalian Matriks dengan Matriks

Beberapa hal yang perlu diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana 

Contoh

Beberapa Hukum Perkalian Matriks:

1. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
2. Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
3. Tidak Komutatif A*B ¹ B*A
4. Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan
1. A = 0 dan B = 0
2. A = 0 atau B = 0
3. A  ¹0 dan B  ¹0
5. Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

BAB: IV

Operasi Aljabar Pada Matriks

1. Penjumlahan matriks

Penjumlahan dua buah matriks akan mendapatkan matriks baru yang elemen-elemennya adalah jumlah dari elemen-elemen  yang bersesuaian dari matriks sebelumnya. Dua buah matriks dapat dijumlahkan syaratnya harus mempunyai ordo yang sama.

Contoh :

2. Pengurangan matriks

Pengurangan dua buah matriks akan menghasilkan matriks lain yang elemen-elemennya merupakan selisih elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks sebelumnya. Dua buah matriks dapat dikurangkan syaratnya mempunyai ordo yang sama.

Contoh :

3. Perkalian matriks dengan skalar

Perkalian matriks A dengan skalar k dinotasikan kA akan menghasilkan matriks baru yang elemen-elemennya merupakan hasil perkalian semua elemen-elemen A dengan skalar k.

Contoh :

4. Perkalian matriks

Perkalian dua buah matriks akan menghasilkan matriks baru elemen-elemennya merupakan jumlah dari perkalian setiap elemen baris matriks matriks pertama dengan setiap elemen kolom matriks kedua. Dua buah matriks dapat dikalikan syaratnya banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua atau secara matematis A_kxl.B_lxm = C_kxm

Contoh :

BAB: V

Matrik Dan Persamaan Lnear

Penyelesaian Matriks Persamaan Linear 2 Dan 3 Variabel :

Matriks dapat digunakan untuk mempermudah dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear. Pada pembahasan kali ini, kita akan menggunakannya untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dan tiga variabel.

1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel adalah
ax + by = p ............................................................................ (1)
cx + dy = q ............................................................................. (2)
Persamaan (1) dan (2) di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti di bawah ini.
Tujuan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel adalah menentukan nilai x dan y yang memenuhi sistem persamaan itu. Oleh karena itu, berdasarkan penyelesaian matriks bentuk AX = B dapat dirumuskan sebagai berikut.
asalkan ad – bc ≠ 0.
Contoh Soal 23 :
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara matriks.
2x + y = 7
x + 3y = 7
Jawab:
Dari persamaan di atas dapat kita susun menjadi bentuk matriks sebagai berikut.
Dengan menggunakan rumus penjelasan persamaan matriks di atas, diperoleh sebagai berikut.

Jadi, diperoleh penyelesaian x = 1 dan y = 2.

2. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Kalian tentu tahu bahwa untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan dengan beberapa cara, misalnya eliminasi, substitusi, gabungan antara eliminasi dan substitusi, operasi baris elementer, serta menggunakan invers matriks. Kalian dapat menggunakan cara-cara tersebut dengan bebas yang menurut kalian paling efisien dan paling mudah.

Misalkan diberikan sistem persamaan linear tiga variabel berikut.

a₁x + b₁y + c₁z = d₁

a₂x + b₂y + c₂z = d₂

a₃x + b₃y + c₃z = d₃
Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks seperti berikut.
Misalkan A =   , X =   , dan B =  
Bentuk di atas dapat kita tuliskan sebagai AX = B.
Penyelesaian sistem persamaan AX = B adalah X = A^-1 B. Dalam hal ini, A^-1 =  

Oleh karena itu, diperoleh :
asalkan det A ≠ 0.
Contoh Soal 24 :
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut.
2x + y – z = 1
x + y + z = 6
x – 2y + z = 0
Jawaban :
Cara 1:
Operasi elemen baris, selain dapat digunakan untuk mencari invers matriks, dapat pula digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.
Dengan menggunakan operasi baris elementer.

Dengan demikian, diperoleh y = 2. Kita substitusikan nilai y = 2 ke persamaan (2) sehingga :
y + 3z = 11 ↔ 2 + 3z = 11
↔ 3z = 11 – 2
↔ 3z = 9
↔ z = 3
Substitusikan y = 2 dan z = 3 ke persamaan (1) sehingga diperoleh :
x + y + z = 6 ↔ x + 2 + 3 = 6
↔ x + 5 = 6
↔ x = 6 – 5
↔ x = 1
Jadi, penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2, dan z = 3.
Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya adalah {(1, 2, 3)}.

Cara 2:
Sistem persamaan linear di atas dapat kita susun ke dalam bentuk matriks sebagai berikut.
Misalkan A =   , X =   , dan B =  
Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :
det A = 
det A = 2(3) – 1(0) + (–1)(–3) = 9
Dengan menggunakan minor-kofaktor, diperoleh :

Dengan cara yang sama, kalian akan memperoleh K₃₁ = 2, K₃₂ = –3, dan K₃₃ = 1  (coba tunjukkan).
Dengan demikian, diperoleh :
kof(A) = 
Oleh karena itu, adj(A) = (kof(A))^T.
Adj(A) = 

Jadi, X =  
Jadi, diperoleh x = 1, y = 2, dan z = 3. Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem persamaan di atas adalah {(1, 2, 3)}.

PENUTUP

            1.Kesimpulan

Dari makalah diatas dapat kita ambil kesimpulan bahwa pada dasarnya dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan kata lain kita selalu bersentuhan dengan persoalan-persoalan yang berkaitan dengan matematika entah itu kita sadari ataupun tidak. Agar mudah difahami maka persoalan tersebut diubah kedalam bahasa atau persamaan matematika supaya persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya.

Adapun matriks sendiri merupakan susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yang di atur dalam baris dan kolom dan di batasi sebuah tanda kurung di sebut matriks..

           

2.Saran

Semoga penulis dan pembaca dapat mengetahui dan memahami materi matriks ini terutama pengaplikasiannya di bidang sosial ekonomi pertanian. Jika ada kesalahan dalam penulisan makalah ini penulis mengharapkan kritikan atau saran dari pembaca.

Daftar Pustaka

http://bahanbelajarsekolah.blogspot.co.id/2014/10/pengertian-dan-jenis- jenis matriks.html

https://gudangtoni.wordpress.com/mpsi/

http://www.pawangsmart.com/2015/10/macam-macam-matriks-dan-contohnya_14.html

http://matriks-kelompok5.blogspot.co.id/2012/06/operasi-pada-matriks.html

http://namaitutidakpenting.blogspot.co.id/2015/09/operasi-aljabar-pada-matriks-pengenalan.html

Bagikan Artikel ini