MATERI MATEMATIKA KELAS 12: BUNGA, PERTUMBUHAN, DAN PELURUHAN.

BUNGA, PERTUMBUHAN, PELURUHAN, INDUKSI MATEMATIKA

Bunga

Bunga

Bunga adalah imbalan jasa yang diberikan oleh pemakai modal kepada pemilik modal, berdasarkan kesepakatan bersama.

🔔 Bunga Tunggal

Bunga tunggal adalah bunga yang diberikan berdasarkan perhitungan modal awal, sehingga bunga tetap setiap periode.

Rumus : Mn  = M0 + bunga

                    = M0 + n.i.M

                    = M0 (1+n.i)

🔔 Bunga Majemuk

Bunga majemuk adalah bunga yang diberikan berdasarkan modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.

Rumus :  Mn = M0 (1+P)n

🔔 Pertumbuhan

Pertumbuhan dapat diartikan semakin lama sebakin bertambah

Pada materi kali ini, jenis pertumbuhan yang dipelajari ada 2, yaitu :

➤ Pertumbuhan penduduk 

Jika mula-mula pertumbuhan penduduk adalah P0 dan setiap tahun bertambah r x jumlah sebelumnya. Maka setelah n tahun, jumlah pertumbuhna diprediksikan menjadi.

Rumus : Pn = P0 (1+r)n

➤ Pembelahan Sel 

Misalkan bakteri mula-mula adalah A0 dan membelah diri r ksli jumlah sebelumnya setiap periode, maka setelah n periode, jumlah bakteri menjadi.

Rumus : An = A0 . rn

🔔 Peluruhan

Jika jumlah benda mula-mula adalah P0  dan setiap periode berkurang r kali jumlah sebelumnya, maka setelah n periode, jumlahnya menjadi.

Rumus : Pn = P0 (1-r)n

🔔 Induksi Matematika

➤ Induksi matematika adalah cara membuktikan dalam matematika menggunakan penalaran deduktif

➤ Cara pengambilan kesimpulan :

1. Penalaran Induktif

Cara mengambil kesimpulan yang dimulai dari hal-hal yang khusus menuju hal-hal yang umum, kebenarannya tidak mutlak dan berlaku di ilmu non matematika.

2. Penalaran Deduktif

Cara pengambilan kesimpulan dari hal umum ke hal yang khusus, kebenarannya mutlak, berlaku di ilmu matematika.

➤ Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah suatu pernyataan dimana kebenarannya ditentukan oleh nilai n. Jika P(n) memenuhi dua sifat berikut.

1. P(n) itu benar untuk n=1

2. Untuk setiap bilangan asli k, jika P(k) bernilai benar maka P(k+1)

➤ Langkah-langkah Induksi Matematika

Pernyataan Pn benar jika dapat dibuktikan dengan langkah :

1. Harus dibuktikan P (1) benar.

2. Diandaikan Pk benar maka harus dibuktikan P (k+1) juga benar

3. Kesimpulan

🔎Ayo Mencoba

Latihan Soal Bunga Tunggal

Mamat menabung di bank sebesar Rp 1.000.000 dengan bunga tunggal 10% per tahun. Tentukan saldo bunga selama 3 tahun!

Diketahui :
Mo = 1.000.000
i      = 10% = 0,1
n     = 3 tahun

Jawab
Mn = Mo (1 + n.i)
M3 = 1.000.000 (1+ 3.0,1)
M3 = 1.000.000 x 1,3
M3 = 1.300.000

Hana menabung di bank sebesar Rp 500.000 dengan bunga tunggal 5% yang dibayarkan setiap 6 bulan sekali. Berapa saldo tabungan Hana jika diambil setelah 42 bulan?

Diketahui :
Mo = 500.000
i      = 10%/tahun = 0,1
n     = 36 bulan = 3,5 tahun

Jawab
Mn = Mo (1 + n.i)
M3 = 500.000 (1+3,5.0,1)
M3 = 500.000 (1,35)
M3 = 675.000

Latihan Soal Bunga Majemuk

Suatu modal sebesar Rp 1.000.000 diinvestasikan selama 3 tahun dengan bunga sebesar 8%. Tentukan besar modal jika menggunakan bunga majemuk.
a. Tahunan
b. Tiap 3 bulan
c. Harian

Diketahui :
Mo = 10.000.000
P      = 8% = 0,08
n     = 3

Jawab
a. Mn = M0 (1+P)n
          = 1.000.000 (1+0,08)3
          = 1.000.000 (1,08)3
          = 1.259712
b. Mn = M0 (1+P)n
          = 1.000.000 (1+0,08)12
          = 1.000.000 (1,08)12
          = 2,518.170,12
c. Mn = M0 (1+P)n
          = 1.000.000 (1+0,08)1095
          = 1.000.000 (3,97)
          = 3.970.000

Latihan Soal Pertumbuhan

Bakteri membelah selama 2 jam. Pada awalnya jumlah bakteri sebanyak 1.000 bakteri.

a. Apakah termasuk pertumbuhan atau peluruhan?

b. Banyak bakteri setelah 10 jam

c. Banyak bakteri setelah 20 jam

d. Banyak bakteri setelah n jam

Diketahui:

A0 = 1000 bakteri

r = 2

Jawab

a. Pertumbuhan

b. An = A0 x rn

      A5 = 1.000 x 25

    A5 = 1.000 x 32

    A5 = 32.000

c. An = A0 x rn

      A5 = 1.000 x 210

    A5 = 1.000 x 1.024

    A5 = 1.024.000

d. An = A0 x rn

Pada tahun 2010, banyak penduduk di suatu kota sebanyak 200.000 orang. Setiap tahun jumlah penduduk meningkat 10%. Tentukan banyak penduduk pada tahun 2015!

Diketahui :

P0 = 200.000

r = 10% = 0,1

n = 5

Jawab

Pn = P0 (1+r)n

P5 = 200.000 (1+0,1)5

P5  = 200.000 (1,1)5

P5  = 200.000 x 1,61051

P5  = 322.102

Latihan Soal Peluruhan

Dokter mendiagnosa pasiennya bahwa masih terinfeksi 800.000 bakteri. Dokter meningkatkan dosis obat untuk membunuh 10% bakteri setiap 6 jam. Tentukan banyak bakteri setelah 24 jam.

Diketahui :

P0 = 800.000

r = 10% = 0,1

t = 6

n = 24/6 = 4

Jawab

Pn = P0 (1-r)n

P4  = 800.000 (1-0,1)4

P4  = 800.000 (0,9)4

P4  = 800.000 x 0,6561

P4  = 524.880

Latihan Soal Induksi Matematika

Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa n jumlah suku pertama bilangan asli adalah P(n) = 1+2+3+.....+ n = 1/2 n(n+1)

Jawab
[1] P(1) = 1 = 1/2.n(n+1)
                   = 1/2.1(1+1)
                   = 1/2 .2
                1 = 1  →→→ Jadi P(1) benar

[2] Andaikan P(k) = 1+2+3+...+k = 1/2 k(k+1)
Harus dibuktikan P(k+1) benar
P(k+1) = 1+2+3....+k + (k+1) = 1/2 (k+1) ((k+1) +1)
                                                = 1/2 (k+1) (k+2)
Ruas kiri
= 1+2+3+....+k+(k+1)
= 1/2 k (k+1) + (k+1) 
= 1/2 k (k+1) + 1/2 .2 (k+1)      
= 1/2 (k+1) (k+2) = Ruas kanan
Jadi P(k) benar, maka p(k+1) juga benar

[3] Kesimpulan
Karena P(1) benar dan jika P(k) benar maka P(k+1) juga benar, maka dapat disimpulkan 1+2+3+.....+ n = 1/2 n(n+1)

Bagikan Artikel ini